Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

30 min
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On se place dans le repère orthonormal (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
On donne les points A(2;4)A\left(-2;4\right), B(2;2)B\left(2;2\right) , C(5;0)C\left(-5;0\right) et D(3;4)D\left(3;-4\right).
Question 1

Montrer que les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Correction
AB(xBxAyByA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right) soit AB(42)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)
CD(xDxCyDyC)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D} -x_{C} } \\ {y_{D} -y_{C} } \end{array}\right) soit CD(84)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {8} \\ {-4} \end{array}\right)
De plus, 4×(4)(2)×8=04\times \left(-4\right)-\left(-2\right)\times 8=0
Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont donc bien colinéaires.
Question 2

Que peut-on en déduire sur le quadrilatère ABDCABDC ?

Correction
Le quadrilatère ABDCABDC a donc ses deux cotés [AB]\left[AB\right] et [CD]\left[CD\right] qui sont parallèles, c'est donc un trapèze.
Question 3

Déterminer une équation cartésienne de la droite (BD)\left(BD\right).

Correction
Nous allons calculer le vecteur BD\overrightarrow{BD} qui sera un vecteur directeur de la droite (BD)\left(BD\right).
BD(xDxByDyB)\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {x_{D} -x_{B} } \\ {y_{D} -y_{B} } \end{array}\right) soit BD(16)\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-6} \end{array}\right)
BD(16)\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-6} \end{array}\right) étant un vecteur directeur de la droite (BD)\left(BD\right), on en déduit que : b=1b=-1 et a=6a=-6.
Ainsi , on a : 6xy+c=0-6x-y+c=0.
Or le point B(2;2)B\left(2;2\right) appartient à la droite (BD)\left(BD\right), donc les coordonnées du point B(2;2)B\left(2;2\right) vérifie 6xy+c=0-6x-y+c=0.
Il vient alors que :
6xByB+c=0-6x_{B} -y_{B} +c=0
6×22+c=0-6\times 2-2+c=0
122+c=0-12-2+c=0
14+c=0-14+c=0
c=14c=14
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (BD)\left(BD\right) est : 6xy+14=0-6x-y+14=0.
Question 4

Trouver une équation cartésienne de la droite (AC)\left(AC\right).

Correction
Nous allons calculer le vecteur AC\overrightarrow{AC} qui sera un vecteur directeur de la droite (AC)\left(AC\right).
AC(xCxAyCyA)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \end{array}\right) soit AC(34)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)
AC(34)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right) étant un vecteur directeur de la droite (AC)\left(AC\right), on en déduit que : b=3b=3 et a=4a=-4.
Ainsi, on a : 4x+3y+c=0-4x+3y+c=0.
Or le point A(2;4)A\left(-2;4\right) appartient à la droite (AC)\left(AC\right), donc les coordonnées du point A(2;4)A\left(-2;4\right) vérifie 4x+3y+c=0-4x+3y+c=0.
Il vient alors que :
4xA+3yA+c=0-4x_{A} +3y_{A} +c=0
4×(2)+3×4+c=0-4\times \left(-2\right)+3\times 4+c=0
8+12+c=08+12+c=0
20+c=020+c=0
c=20c=-20
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AC)\left(AC\right) est : 4x+3y20=0-4x+3y-20=0.
Question 5
Soit le point E(1;8)E\left(1;8\right).

Montrer que le point EE appartient à la droite (BD)\left(BD\right) et à la droite (AC)\left(AC\right).

Correction
 D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
On regarde si les coordonnées du point EE vérifient l'équation de la droite (BD)\left(BD\right).
6xEyE+14=6×18+14-6x_{E} -y_{E} +14=-6\times 1-8+14
6xEyE+14=0-6x_{E} -y_{E} +14=0
Donc le point EE appartient à la droite (BD)\left(BD\right).
 D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}}
On regarde si les coordonnées du point EE vérifient l'équation de la droite (AC)\left(AC\right).
4xE+3yE20=4×1+3×820-4x_{E} +3y_{E} -20=-4\times 1+3\times 8-20
4xE+3yE20=0-4x_{E} +3y_{E} -20=0
Donc le point EE appartient à la droite (AC)\left(AC\right).
Question 6
KK est le milieu du segment [AB]\left[AB\right] et LL le milieu du segment[CD]\left[CD\right].

Montrer que les points EE, KK et LL sont alignés.

Correction
KK est le milieu du segment [AB]\left[AB\right] d'où :
xK=xA+xB2x_{K} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yK=yA+yB2y_{K} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2} .
Ainsi : xK=0x_{K} =0 et yK=3y_{K} =3.
Donc K(0;3)K\left(0;3\right)

LL est le milieu du segment [CD]\left[CD\right] d'où :
xL=xC+xD2x_{L} =\frac{x_{C} +x_{D} }{2} et yL=yC+yD2y_{L} =\frac{y_{C} +y_{D} }{2} .
Ainsi : xL=1x_{L} =-1 et yL=2y_{L} =-2.
Donc L(1;2)L\left(-1;-2\right)

Calculons les coordonnées des vecteurs EL\overrightarrow{EL} et EK\overrightarrow{EK} .
On a :
EL(xLxEyLyE)\overrightarrow{EL} \left(\begin{array}{c} {x_{L} -x_{E} } \\ {y_{L} -y_{E} } \end{array}\right) soit EL(210)\overrightarrow{EL} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-10} \end{array}\right)
EK(xKxEyKyE)\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {x_{K} -x_{E} } \\ {y_{K} -y_{E} } \end{array}\right) soit EK(15)\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-5} \end{array}\right)
On remarque que : EL=2×EK\overrightarrow{EL} =2\times \overrightarrow{EK} .
Il vient alors que les vecteurs EL\overrightarrow{EL} et EK\overrightarrow{EK} sont colinéaires, donc que les points EE, KK et LL sont alignés.