Equations cartésienne d'une droite : Savoir manipuler un vecteur directeur d'une droite

On note $\vec{u}$ un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$.
Ainsi : $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-5} \end{array}\right)$

On note $\vec{u}$ un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$.
Ainsi : $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)$.

On note $\vec{u}$ un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$.
Ainsi : $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {4} \end{array}\right)$.

On note $\vec{u}$ un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$.
Ainsi : $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {0} \end{array}\right)$.

On note $\vec{u}$ un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$.
Ainsi : $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-5} \end{array}\right)$.

L'équation $-7x=2$ peut également s'écrire $-7x-2=0$ .
On note $\vec{u}$ un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$.
Ainsi : $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-7} \end{array}\right)$.

Le point $A\left(1;4\right)$ appartient à l'équation cartésienne $2x-4y+1=0$ si les coordonnées de $A$ vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que $2x_{A} -4y_{A} +1=0$.
Il vient alors que :
$2x_{A} -4y_{A} +1=2\times 1-4\times 4+1$
$2x_{A} -4y_{A} +1=2-16+1$
$2x_{A} -4y_{A} +1=-13$
$2x_{A} -4y_{A} +1\ne 0$
Il en résulte que le point $A\left(1;4\right)$ n'appartient pas à l'équation cartésienne $2x-4y+1=0$.

Le point $A\left(2;5\right)$ appartient à l'équation cartésienne $3x-2y+4=0$ si les coordonnées de $A$ vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que $3x_{A} -2y_{A} +4=0$.
Il vient alors que :
$3x_{A} -2y_{A} +4=3\times 2-2\times 5+4$
$3x_{A} -2y_{A} +4=6-10+4$
$3x_{A} -2y_{A} +4=0$
Il en résulte que le point $A\left(2;5\right)$ appartient à l'équation cartésienne $3x-2y+4=0$.

Le point $A\left(-1;0\right)$ appartient à l'équation cartésienne $x-2y+1=0$ si les coordonnées de $A$ vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que $x_{A} -2y_{A} +1=0$.
Il vient alors que :
$x_{A} -2y_{A} +1=-1-2\times0+1$
$x_{A} -2y_{A} +1=-1+1$
$x_{A} -2y_{A} +1=0$
Il en résulte que le point $A\left(-1;0\right)$ appartient à l'équation cartésienne $x-2y+1=0$.

Le point $A\left(-2;-3\right)$ appartient à l'équation cartésienne $5x-2y+20=0$ si les coordonnées de $A$ vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que $5x_{A} -2y_{A} +20=0$.
Il vient alors que :
$5x_{A} -2y_{A} +20=5\times \left(-2\right)-2\times \left(-3\right)+20$
$5x_{A} -2y_{A} +20=-10+6+20$
$5x_{A} -2y_{A} +20=16$
$5x_{A} -2y_{A} +20\ne 0$
Il en résulte que le point $A\left(-2;-3\right)$ n'appartient pas à l'équation cartésienne $5x-2y+20=0$.

Le point $A\left(1;4\right)$ appartient à l'équation cartésienne $-2y+8=0$ si les coordonnées de $A$ vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que $-2y_{A} +8=0$.
Il vient alors que :
$-2y_{A} +8=-2\times4+8$
$-2y_{A} +8=-8+8$
$-2y_{A} +8=0$
Il en résulte que le point $A\left(1;4\right)$ appartient à l'équation cartésienne $-2y+8=0$.

$\vec{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de $\left(d_{1} \right)$, on en déduit que : $-b=2$ et $a=3$. D'où : $b=-2$ et $a=3$
Ainsi , on a : $3x-2y+c=0$.
Or le point $A\left(1;4\right)$ appartient à la droite $\left(d_{1} \right)$, donc les coordonnées du point $A\left(1;4\right)$ vérifie $3x-2y+c=0$.
Il vient alors que :
$3x_{A} -2y_{A} +c=0$
$3\times 1-2\times 4+c=0$
$3-8+c=0$
$-5+c=0$
$c=5$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(d_{1} \right)$ admettant $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$ comme vecteur directeur et passant par le point $A\left(1;4\right)$ est : $3x-2y+5=0$.

$\vec{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {1} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de $\left(d_{2} \right)$, on en déduit que : $-b=-3$ et $a=1$. D'où : $b=3$ et $a=1$.
Ainsi , on a : $x+3y+c=0$.
Or le point $A\left(2;1\right)$ appartient à la droite $\left(d_{2} \right)$, donc les coordonnées du point $A\left(2;1\right)$ vérifie $x+3y+c=0$.
Il vient alors que :
$x_{A} +3y_{A} +c=0$
$2+3\times 1+c=0$
$2+3+c=0$
$5+c=0$
$c=-5$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(d_{2} \right)$ admettant $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {1} \end{array}\right)$ comme vecteur directeur et passant par le point $A\left(2;1\right)$ est : $x+3y-5=0$.

$\vec{u} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-6} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de $\left(d_{3} \right)$, on en déduit que : $-b=5$ et $a=-6$. D'où : $b=-5$ et $a=-6$.
Ainsi , on a : $-6x-5y+c=0$.
Or le point $A\left(0;2\right)$ appartient à la droite $\left(d_{3} \right)$, donc les coordonnées du point $A\left(0;2\right)$ vérifie $-6x-5y+c=0$.
Il vient alors que :
$-6x_{A} -5y_{A} +c=0$
$-6\times 0-5\times 2+c=0$
$-10+c=0$
$c=10$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(d_{3} \right)$ admettant $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-6} \end{array}\right)$ comme vecteur directeur et passant par le point $A\left(0;2\right)$ est : $-6x-5y+10=0$.

$\vec{u} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de $\left(d_{4} \right)$, on en déduit que : $-b=0$ et $a=2$. D'où : $b=0$ et $a=2$.
Ainsi , on a : $2x+0y+c=0$ c'est à dire $2x+c=0$.
Or le point $A\left(3;-7\right)$ appartient à la droite $\left(d_{4} \right)$, donc les coordonnées du point $A\left(3;-7\right)$ vérifie $2x+c=0$.
Il vient alors que :
$2x_{A} +c=0$
$2\times 3+c=0$
$6+c=0$
$c=-6$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(d_{4} \right)$ admettant $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \end{array}\right)$ comme vecteur directeur et passant par le point $A\left(3;-7\right)$ est : $2x-6=0$.

Nous allons calculer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ qui sera un vecteur directeur de la droite $\left(AB\right)$.
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2-1} \\ {7-4} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de $\left(AB\right)$, on en déduit que : $b=-1$ et $a=3$.
Ainsi , on a : $3x-y+c=0$.
Or le point $B\left(2;7\right)$ appartient à la droite $\left(AB\right)$, donc les coordonnées du point $B\left(2;7\right)$ vérifie $3x-y+c=0$.
Il vient alors que :
$3x_{B} -y_{B} +c=0$
$3\times 2-7+c=0$
$6-7+c=0$
$-1+c=0$
$c=1$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(AB\right)$ est : $3x-y+1=0$.

Nous allons calculer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ qui sera un vecteur directeur de la droite $\left(AB\right)$.
$\vec{AB} \left(\begin{array}{c} {4-2} \\ {14-4} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {10} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {10} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de $\left(AB\right)$, on en déduit que : $b=-2$ et $a=10$.
Ainsi , on a : $10x-2y+c=0$.
Or le point $A\left(2;4\right)$ appartient à la droite $\left(AB\right)$, donc les coordonnées du point $A\left(2;4\right)$ vérifie $10x-2y+c=0$.
Il vient alors que :
$10x_{A} -2y_{A} +c=0$
$10\times 2-2\times 4+c=0$
$20-8+c=0$
$12+c=0$
$c=-12$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(AB\right)$ est : $10x-2y-12=0$.
Nous pouvons diviser ici tous les termes par $2$ afin d'avoir une écriture plus simple.
La droite $\left(AB\right)$ s'écrirait : $5x-y-6=0$

Nous allons calculer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ qui sera un vecteur directeur de la droite $\left(AB\right)$.
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-1} \\ {13-5} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {8} \end{array}\right)$
$\vec{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {8} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de $\left(AB\right)$, on en déduit que : $b=-4$ et $a=8$.
Ainsi , on a : $8x-4y+c=0$.
Or le point $A\left(1;5\right)$ appartient à la droite $\left(AB\right)$, donc les coordonnées du point $A\left(1;5\right)$ vérifie $8x-4y+c=0$.
Il vient alors que :
$8x_{A} -4y_{A} +c=0$
$8\times 1-4\times 5+c=0$
$8-20+c=0$
$-12+c=0$
$c=12$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(AB\right)$ est : $8x-4y+12=0$.
Nous pouvons diviser ici tous les termes par $4$ afin d'avoir une écriture plus simple.
La droite $\left(AB\right)$ s'écrirait : $2x-y+3=0$