Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires
Equations cartésienne d'une droite : Savoir manipuler un vecteur directeur d'une droite
Exercice 1
Soit (d) une droite dont l'équation cartésienne est : −5x+2y+4=0.
1
Donner un vecteur directeur de (d).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
On note u un vecteur directeur de la droite (d). Ainsi : u(−2−5)
Soit (d) une droite dont l'équation cartésienne est : x−y+2=0.
2
Donner un vecteur directeur de (d).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
On note u un vecteur directeur de la droite (d). Ainsi : u(11).
Soit (d) une droite dont l'équation cartésienne est : 4x+7y+2=0.
3
Donner un vecteur directeur de (d).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
On note u un vecteur directeur de la droite (d). Ainsi : u(−74).
Soit (d) une droite dont l'équation cartésienne est : 2y+4=0.
4
Donner un vecteur directeur de (d).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
On note u un vecteur directeur de la droite (d). Ainsi : u(−20).
Soit (d) une droite dont l'équation cartésienne est : −5x+3y−8=0.
5
Donner un vecteur directeur de (d).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
On note u un vecteur directeur de la droite (d). Ainsi : u(−3−5).
Soit (d) une droite dont l'équation cartésienne est : −7x=2.
6
Donner un vecteur directeur de (d).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
L'équation −7x=2 peut également s'écrire −7x−2=0 . On note u un vecteur directeur de la droite (d). Ainsi : u(0−7).
Exercice 2
Dans chaque cas, indiquer si le point A donné appartient à l'équation cartésienne qui lui est associée.
1
Le point A(1;4) appartient-il à l'équation cartésienne 2x−4y+1=0 ?
Correction
Le point A(1;4) appartient à l'équation cartésienne 2x−4y+1=0 si les coordonnées de A vérifient l'équation. Autrement dit, il faut que 2xA−4yA+1=0. Il vient alors que : 2xA−4yA+1=2×1−4×4+1 2xA−4yA+1=2−16+1 2xA−4yA+1=−13 2xA−4yA+1=0 Il en résulte que le point A(1;4) n'appartient pas à l'équation cartésienne 2x−4y+1=0.
2
Le point A(2;5) appartient-il à l'équation cartésienne 3x−2y+4=0 ?
Correction
Le point A(2;5) appartient à l'équation cartésienne 3x−2y+4=0 si les coordonnées de A vérifient l'équation. Autrement dit, il faut que 3xA−2yA+4=0. Il vient alors que : 3xA−2yA+4=3×2−2×5+4 3xA−2yA+4=6−10+4 3xA−2yA+4=0 Il en résulte que le point A(2;5) appartient à l'équation cartésienne 3x−2y+4=0.
3
Le point A(−1;0) appartient-il à l'équation cartésienne x−2y+1=0 ?
Correction
Le point A(−1;0) appartient à l'équation cartésienne x−2y+1=0 si les coordonnées de A vérifient l'équation. Autrement dit, il faut que xA−2yA+1=0. Il vient alors que : xA−2yA+1=−1−2×0+1 xA−2yA+1=−1+1 xA−2yA+1=0 Il en résulte que le point A(−1;0) appartient à l'équation cartésienne x−2y+1=0.
4
Le point A(−2;−3) appartient-il à l'équation cartésienne 5x−2y+20=0 ?
Correction
Le point A(−2;−3) appartient à l'équation cartésienne 5x−2y+20=0 si les coordonnées de A vérifient l'équation. Autrement dit, il faut que 5xA−2yA+20=0. Il vient alors que : 5xA−2yA+20=5×(−2)−2×(−3)+20 5xA−2yA+20=−10+6+20 5xA−2yA+20=16 5xA−2yA+20=0 Il en résulte que le point A(−2;−3) n'appartient pas à l'équation cartésienne 5x−2y+20=0.
5
Le point A(1;4) appartient-il à l'équation cartésienne −2y+8=0 ?
Correction
Le point A(1;4) appartient à l'équation cartésienne −2y+8=0 si les coordonnées de A vérifient l'équation. Autrement dit, il faut que −2yA+8=0. Il vient alors que : −2yA+8=−2×4+8 −2yA+8=−8+8 −2yA+8=0 Il en résulte que le point A(1;4) appartient à l'équation cartésienne −2y+8=0.
Exercice 3
Déterminer l'écriture cartésienne de la droite dont on connait un vecteur directeur et un point A.
La droite (d1) admet u(23) comme vecteur directeur et passe par le point A(1;4).
1
Donnez l'écriture cartésienne de la droite (d1).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
u(23) étant un vecteur directeur de (d1), on en déduit que : −b=2 et a=3. D'où : b=−2 et a=3 Ainsi , on a : 3x−2y+c=0. Or le point A(1;4) appartient à la droite (d1), donc les coordonnées du point A(1;4) vérifie 3x−2y+c=0. Il vient alors que : 3xA−2yA+c=0 3×1−2×4+c=0 3−8+c=0 −5+c=0 c=5 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d1) admettant u(23) comme vecteur directeur et passant par le point A(1;4) est : 3x−2y+5=0.
La droite (d2) admet u(−31) comme vecteur directeur et passe par le point A(2;1).
2
Donnez l'écriture cartésienne de la droite (d2).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
u(−31) étant un vecteur directeur de (d2), on en déduit que : −b=−3 et a=1. D'où : b=3 et a=1. Ainsi , on a : x+3y+c=0. Or le point A(2;1) appartient à la droite (d2), donc les coordonnées du point A(2;1) vérifie x+3y+c=0. Il vient alors que : xA+3yA+c=0 2+3×1+c=0 2+3+c=0 5+c=0 c=−5 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d2) admettant u(−31) comme vecteur directeur et passant par le point A(2;1) est : x+3y−5=0.
La droite (d3) admet u(5−6) comme vecteur directeur et passe par le point A(0;2).
3
Donnez l'écriture cartésienne de la droite (d3).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
u(5−6) étant un vecteur directeur de (d3), on en déduit que : −b=5 et a=−6. D'où : b=−5 et a=−6. Ainsi , on a : −6x−5y+c=0. Or le point A(0;2) appartient à la droite (d3), donc les coordonnées du point A(0;2) vérifie −6x−5y+c=0. Il vient alors que : −6xA−5yA+c=0 −6×0−5×2+c=0 −10+c=0 c=10 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d3) admettant u(5−6) comme vecteur directeur et passant par le point A(0;2) est : −6x−5y+10=0.
La droite (d4) admet u(02) comme vecteur directeur et passe par le point A(3;−7).
4
Donnez l'écriture cartésienne de la droite (d4).
Correction
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
u(02) étant un vecteur directeur de (d4), on en déduit que : −b=0 et a=2. D'où : b=0 et a=2. Ainsi , on a : 2x+0y+c=0 c'est à dire 2x+c=0. Or le point A(3;−7) appartient à la droite (d4), donc les coordonnées du point A(3;−7) vérifie 2x+c=0. Il vient alors que : 2xA+c=0 2×3+c=0 6+c=0 c=−6 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (d4) admettant u(02) comme vecteur directeur et passant par le point A(3;−7) est : 2x−6=0.
Exercice 4
On donne les coordonnées des points A et B, déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) dans les cas suivants :
1
A(1;4) et B(2;7)
Correction
Nous allons calculer le vecteur AB qui sera un vecteur directeur de la droite (AB). AB(2−17−4) d'où AB(13) AB(13) étant un vecteur directeur de (AB), on en déduit que : b=−1 et a=3. Ainsi , on a : 3x−y+c=0. Or le point B(2;7) appartient à la droite (AB), donc les coordonnées du point B(2;7) vérifie 3x−y+c=0. Il vient alors que : 3xB−yB+c=0 3×2−7+c=0 6−7+c=0 −1+c=0 c=1 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AB) est : 3x−y+1=0.
2
A(2;4) et B(4;14)
Correction
Nous allons calculer le vecteur AB qui sera un vecteur directeur de la droite (AB). AB(4−214−4) d'où AB(210) AB(210) étant un vecteur directeur de (AB), on en déduit que : b=−2 et a=10. Ainsi , on a : 10x−2y+c=0. Or le point A(2;4) appartient à la droite (AB), donc les coordonnées du point A(2;4) vérifie 10x−2y+c=0. Il vient alors que : 10xA−2yA+c=0 10×2−2×4+c=0 20−8+c=0 12+c=0 c=−12 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AB) est : 10x−2y−12=0. Nous pouvons diviser ici tous les termes par 2 afin d'avoir une écriture plus simple. La droite (AB) s'écrirait : 5x−y−6=0
3
A(1;5) et B(5;13)
Correction
Nous allons calculer le vecteur AB qui sera un vecteur directeur de la droite (AB). AB(5−113−5) d'où AB(48) AB(48) étant un vecteur directeur de (AB), on en déduit que : b=−4 et a=8. Ainsi , on a : 8x−4y+c=0. Or le point A(1;5) appartient à la droite (AB), donc les coordonnées du point A(1;5) vérifie 8x−4y+c=0. Il vient alors que : 8xA−4yA+c=0 8×1−4×5+c=0 8−20+c=0 −12+c=0 c=12 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AB) est : 8x−4y+12=0. Nous pouvons diviser ici tous les termes par 4 afin d'avoir une écriture plus simple. La droite (AB) s'écrirait : 2x−y+3=0
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