Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires
Droites sécantes et point d'intersection
Exercice 1
Les droites (d1) et (d2) ont respectivement comme équation cartésienne −x+6y+1=0 et 2x−y−21=0.
1
Les droites (d1) et (d2) sont-elles sécantes ?
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont sécantes si leurs vecteurs directeurs respectifs ne sont pas colinéaires.
Soit u1(−6−1) un vecteur de la droite (d1).Soit u2(12) un vecteur de la droite (d2).
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires car : (−6)×2−(−1)×1=0.- Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
- det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
Les droites (d1) et (d2) ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.
Exercice 2
Les droites (d1) et (d2) ont respectivement comme équation cartésienne 3x+2y−7=0 et 2x+2y−6=0.
1
Montrer que les droites (d1) et (d2) sont sécantes.
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont sécantes si leurs vecteurs directeurs respectifs ne sont pas colinéaires.
Soit u1(−23) un vecteur de la droite (d1).Soit u2(−22) un vecteur de la droite (d2).
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires car : (−2)×2−3×(−2)=0.- Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
- det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
Les droites (d1) et (d2) ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.
2
Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre les deux droites.
Correction
Comme les droites (d1) et (d2) sont sécantes, elles admettent un point d'intersection.
Pour déterminer les coordonnées de celui-ci, il nous faut résoudre un système deux équations à deux inconnues.
Il vient alors :
{3x2x++2y2y−−76==00
Pour résoudre ce système, nous allons procéder par la méthode par combinaison.
En effet, on observe que les coefficients devant les y sont égaux.
Nous pouvons donc soustraire les deux lignes.
On obtient :
3x+2y−7−(2x+2y−6)=0
3x+2y−7−2x−2y+6=0
x−1=0
x=1
On remplace maintenant x par 1 dans la 1ère équation du système, il vient alors :
3×1+2y−7=0
3+2y−7=0
2y−4=0
2y=4
y=2
On s'assure également que x=1 et y=2 vérifient la 2ème équation du système.
Ainsi :
2x+2y−6=2×1+2×2−6
2x+2y−6=0
Il en résulte que les coordonnées du point d'intersection entre (d1) et (d2) est le point que l'on note I(1;2).
Pour déterminer les coordonnées de celui-ci, il nous faut résoudre un système deux équations à deux inconnues.
Il vient alors :
{3x2x++2y2y−−76==00
Pour résoudre ce système, nous allons procéder par la méthode par combinaison.
En effet, on observe que les coefficients devant les y sont égaux.
Nous pouvons donc soustraire les deux lignes.
On obtient :
3x+2y−7−(2x+2y−6)=0
3x+2y−7−2x−2y+6=0
x−1=0
x=1
On remplace maintenant x par 1 dans la 1ère équation du système, il vient alors :
3×1+2y−7=0
3+2y−7=0
2y−4=0
2y=4
y=2
On s'assure également que x=1 et y=2 vérifient la 2ème équation du système.
Ainsi :
2x+2y−6=2×1+2×2−6
2x+2y−6=0
Il en résulte que les coordonnées du point d'intersection entre (d1) et (d2) est le point que l'on note I(1;2).
Exercice 3
Les droites (d1) et (d2) ont respectivement comme équation cartésienne 5x−2y−8=0 et 3x−3y−3=0.
1
Montrer que les droites (d1) et (d2) sont sécantes.
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont sécantes si leurs vecteurs directeurs respectifs ne sont pas colinéaires.
Soit u1(25) un vecteur de la droite (d1).Soit u2(33) un vecteur de la droite (d2).
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires car : 2×3−5×3=0.- Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
- det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
Les droites (d1) et (d2) ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.
2
Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre les deux droites.
Correction
{5x−2y−83x−3y−3==00 . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par 3 et la deuxième ligne par −2 afin que les coefficients devant les y soient opposées. Il vient alors que :
{15x−6y−24−6x+6y+6==00 . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
{5x−2y−89x−18==00 . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{5x−2y−89x==018
{5x−2y−8x==0918
{5x−2y−8x==02
{5×2−2y−8x==02
{10−2y−8x==02
{−2y+2x==02
{−2yx==−22
{yx==−2−22
{yx==12
Les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d1) et (d2) est le point E de coordonnées E(2;1).
Exercice 4
Les droites (d1) et (d2) ont respectivement comme équation cartésienne 2x+6y−10=0 et −4x+18y−25=0 .
1
Montrer que les droites (d1) et (d2) sont sécantes.
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont sécantes si leurs vecteurs directeurs respectifs ne sont pas colinéaires.
Soit u1(−62) un vecteur de la droite (d1).Soit u2(−18−4) un vecteur de la droite (d2).
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires car : −6×(−4)−2×(−18)=0.- Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
- det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
Les droites (d1) et (d2) ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.
2
Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre les deux droites.
Correction
{2x+6y−10−4x+18y−25==00 . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par 2 et la deuxième ligne par 1 afin que les coefficients devant les x soient opposées. Il vient alors que :
{4x+12y−20−4x+18y−25==00 . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
{2x+6y−1030y−45==00 . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{2x+6y−1030y==045
{2x+6y−10y==03045
{2x+6y−10y==023
{2x+6×23−10y==023
{2x+9−10y==023
{2x−1y==023
{2xy==123
{xy==2123
Les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d1) et (d2) est le point H de coordonnées E(21;23).
Exercice 5
Les droites (d1) et (d2) ont respectivement comme équation cartésienne 5x+6y+1=0 et 3x+18y−9=0 .
1
Montrer que les droites (d1) et (d2) sont sécantes.
Correction
Deux droites (d1) et (d2) sont sécantes si leurs vecteurs directeurs respectifs ne sont pas colinéaires.
Soit u1(−65) un vecteur de la droite (d1).Soit u2(−183) un vecteur de la droite (d2).
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires car : −6×3−5×(−18)=0.- Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
- det(u;v)=xy′−x′y est appelé déterminant.
Les droites (d1) et (d2) ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.
2
Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre les deux droites.
Correction
{5x+6y+13x+18y−9==00 . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par 3 et la deuxième ligne par −5 afin que les coefficients devant les x soient opposées. Il vient alors que :
{15x+18y+3−15x−90y+45==00 . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
{5x+6y+1−72y+48==00 . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{5x+6y+1−72y==0−48
{5x+6y+1y==0−72−48
{5x+6y+1y==032
{5x+6×32+1y==032
{5x+4+1y==032
{5xy==−532
{xy==5−532
{xy==−132
Les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d1) et (d2) est le point H de coordonnées (−1;32).
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