Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Droites sécantes et point d'intersection - Exercice 1

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Question 1
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ont respectivement comme équation cartésienne x+6y+1=0-x+6y+1=0 et 2xy12=02x-y-\frac{1}{2} =0.

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles sécantes ?

Correction
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont sécantes si leurs vecteurs directeurs respectifs ne sont pas colinéaires.
Soit u1(61)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2(12)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0\det\left(\vec{u} ;\vec{v} \right)=0 autrement dit si : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • det(u;v)=xyxy\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
Les vecteurs u1\overrightarrow{u_{1} } et u2\overrightarrow{u_{2} } ne sont pas colinéaires car : (6)×2(1)×10\left(-6\right)\times 2-\left(-1\right)\times 1\ne 0.
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.