Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Droites sécantes et point d'intersection - Exercice 1

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Question 1
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ont respectivement comme équation cartésienne −x+6y+1=0-x+6y+1=0 et 2x−y−12=02x-y-\frac{1}{2} =0.

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles sécantes ?

Correction
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont sécantes si leurs vecteurs directeurs respectifs ne sont pas colinéaires.
Soit u1→(−6−1)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
Soit u2→(12)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u⃗;v⃗)=0\det\left(\vec{u} ;\vec{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
Les vecteurs u1→\overrightarrow{u_{1} } et u2→\overrightarrow{u_{2} } ne sont pas colinéaires car : (−6)×2−(−1)×1≠0\left(-6\right)\times 2-\left(-1\right)\times 1\ne 0.
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont donc pas parallèles, elles sont donc sécantes.