Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Droites parallèles - Exercice 1

12 min
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Question 1
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ont respectivement comme équation cartésienne 3x+2y+1=03x+2y+1=0 et −x+4y−5=0-x+4y-5=0.

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles parallèles ?

Correction
Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
  • Soit u1→(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
  • Soit u2→(x′y′)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
  • Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
    • Soit u1→(−23)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
    Soit u2→(−4−1)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
    Les vecteurs u1→\overrightarrow{u_{1} } et u2→\overrightarrow{u_{2} } ne sont pas colinéaires car : (−2)×(−1)−3×(−4)≠0\left(-2\right)\times \left(-1\right)-3\times \left(-4\right)\ne 0.
    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont donc pas parallèles.
    Question 2
    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ont respectivement comme équation cartésienne 2x−y=02x-y=0 et −x+12y−5=0-x+\frac{1}{2} y-5=0.

    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles parallèles ?

    Correction
    Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
  • Soit u1→(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
  • Soit u2→(x′y′)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
  • Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
    • Soit u1→(12)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
    Soit u2→(−12−1)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{2} } \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
    Les vecteurs u1→\overrightarrow{u_{1} } et u2→\overrightarrow{u_{2} } sont colinéaires car : 1×(−1)−2×(−12)=01\times \left(-1\right)-2\times \left(-\frac{1}{2} \right)=0.
    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont donc parallèles.
    Question 3
    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ont respectivement comme équation cartésienne 2x+6=02x+6=0 et x+2y+1=0x+2y+1=0.

    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles parallèles ?

    Correction
    Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
  • Soit u1→(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
  • Soit u2→(x′y′)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
  • Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
    • Soit u1→(02)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
    Soit u2→(−21)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2 } \\ {1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
    Les vecteurs u1→\overrightarrow{u_{1} } et u2→\overrightarrow{u_{2} } ne sont pas colinéaires car : 0×1−2×(−2)≠00\times 1-2\times \left(-2\right)\ne 0.
    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont donc pas parallèles.
    Question 4

    La droite (d1)\left(d_{1} \right) d'équation cartésienne : 2x−5y+2=02x-5y+2=0 est parallèle à la droite (d5)\left(d_{5} \right) d'équation : y=−x+1y=-x+1.

    Correction
    La droite (d5)\left(d_{5} \right) est donnée sous sa forme réduite : y=−x+1y=-x+1. Nous allons donc la donner maintenant sous forme cartésienne. On a alors : x+y−1=0x+y-1=0.
    Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
  • Soit u1→(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
  • Soit u2→(x′y′)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
  • Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
    • Soit u1→(52)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
    Soit u5→(−11)\overrightarrow{u_{5} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d5)\left(d_{5} \right).
    Les vecteurs u1→\overrightarrow{u_{1} } et u5→\overrightarrow{u_{5} } ne sont pas colinéaires car : 5×1−2×(−1)≠05\times 1-2\times \left(-1\right)\ne 0.
    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d5)\left(d_{5} \right) ne sont donc pas parallèles.