Déterminer une équation cartésienne d'une droite à l'aide de deux points - Exercice 1

Nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ qui sera un vecteur directeur de la droite $$\left(AB\right)$$.
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ce qui donne $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2-1} \\ {7-4} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}1}} \\ {{\color{red}3}} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur $$\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}-b}} \\ {{\color{red}a}} \end{array}\right)$$ de la droite $$\left(AB\right)$$, on en déduit que : $${\color{blue}-b=1}$$ et $${\color{red}a=3}$$ ce qui nous donne $$b=-1$$ et $$a=3$$.
Ainsi , on a : $$3x-y+c=0$$.
Or le point $$B\left(2;7\right)$$ appartient à la droite $$\left(AB\right)$$, donc les coordonnées du point $$B\left(2;7\right)$$ vérifie $$3x-y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$3x_{B} -y_{B} +c=0$$
$$3\times 2-7+c=0$$
$$6-7+c=0$$
$$-1+c=0$$
$$c=1$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AB\right)$$ est : $$3x-y+1=0$$.

Nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ qui sera un vecteur directeur de la droite $$\left(AB\right)$$.
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ce qui donne $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4-2} \\ {14-4} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {10} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}2}} \\ {{\color{red}10}} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur $$\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}-b}} \\ {{\color{red}a}} \end{array}\right)$$ de la droite $$\left(AB\right)$$, on en déduit que : $${\color{blue}-b=2}$$ et $${\color{red}a=10}$$ ce qui nous donne $$b=-2$$ et $$a=10$$.
Ainsi , on a : $$10x-2y+c=0$$.
Or le point $$A\left(2;4\right)$$ appartient à la droite $$\left(AB\right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(2;4\right)$$ vérifie $$10x-2y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$10x_{A} -2y_{A} +c=0$$
$$10\times 2-2\times 4+c=0$$
$$20-8+c=0$$
$$12+c=0$$
$$c=-12$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AB\right)$$ est : $$10x-2y-12=0$$.
Nous pouvons diviser ici tous les termes par $$2$$ afin d'avoir une écriture plus simple.
La droite $$\left(AB\right)$$ s'écrirait : $$5x-y-6=0$$

Nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ qui sera un vecteur directeur de la droite $$\left(AB\right)$$.
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ce qui donne $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-1} \\ {13-5} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {8} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}4}} \\ {{\color{red}8}} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur $$\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}-b}} \\ {{\color{red}a}} \end{array}\right)$$ de la droite $$\left(AB\right)$$, on en déduit que : $${\color{blue}-b=4}$$ et $${\color{red}a=8}$$ ce qui nous donne $$b=-4$$ et $$a=8$$.
Ainsi , on a : $$8x-4y+c=0$$.
Or le point $$A\left(1;5\right)$$ appartient à la droite $$\left(AB\right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(1;5\right)$$ vérifie $$8x-4y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$8x_{A} -4y_{A} +c=0$$
$$8\times 1-4\times 5+c=0$$
$$8-20+c=0$$
$$-12+c=0$$
$$c=12$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AB\right)$$ est : $$8x-4y+12=0$$.
Nous pouvons diviser ici tous les termes par $$4$$ afin d'avoir une écriture plus simple.
La droite $$\left(AB\right)$$ s'écrirait : $$2x-y+3=0$$

Nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ qui sera un vecteur directeur de la droite $$\left(AB\right)$$.
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ce qui donne $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2-\left(-1\right)} \\ {-5-0} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-5} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}3}} \\ {{\color{red}-5}} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur $$\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}-b}} \\ {{\color{red}a}} \end{array}\right)$$ de la droite $$\left(AB\right)$$, on en déduit que : $${\color{blue}-b=3}$$ et $${\color{red}a=-5}$$ ce qui nous donne $$b=-3$$ et $$a=-5$$.
Ainsi , on a : $$-5x-3y+c=0$$.
Or le point $$A\left(-1;0\right)$$ appartient à la droite $$\left(AB\right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(-1;0\right)$$ vérifie $$-5x-3y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-5x_{A} -3y_{A} +c=0$$
$$-5\times \left(-1\right)-3\times 0+c=0$$
$$5+c=0$$
$$c=-5$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AB\right)$$ est : $$-5x-3y-5=0$$.