Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Déterminer la forme réduite d'une droite à l'aide de la pente et d'un point - Exercice 1

12 min
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Question 1

Déterminer l'équation réduite de la droite (d1)\left(d_{1}\right) passant par A(1;2)A\left(1;2\right) et ayant pour pente (coefficient directeur) 33 .

Correction
Toute droite (d)\left(d\right) non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y=mx+py={\color{blue}m}x+{\color{red}p} . Cette équation est l'équation réduite de la droite (d)\left(d\right) .
  • Le réel m{\color{blue}m} est appelé pente (ou coefficient directeur de la droite ) .
  • Le réel p{\color{red}p} est appelé ordonnée à l'origine .
    • La droite (d1)\left(d_{1}\right) a pour pente 33 alors y=3x+py=3x+p .
    Le point A(1;2)A\left(1;2\right) appartient à la droite (d1)\left(d_{1}\right), il vient alors que : yA=3xA+py_{A}=3x_{A}+p.
    Ce qui nous donne :
    2=3×1+p2=3\times 1+p
    2=3+p2=3+p que l'on peut aussi écrire :
    3+p=23+p=2
    p=2−3p=2-3
    p=−1p=-1
    Finalement, l'équation réduite de la droite (d1)\left(d_{1}\right) est :
    y=3x−1y=3x-1
    Question 2

    Déterminer l'équation réduite de la droite (d2)\left(d_{2}\right) passant par A(2;4)A\left(2;4\right) et ayant pour pente (coefficient directeur) −5-5 .

    Correction
    Toute droite (d)\left(d\right) non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y=mx+py={\color{blue}m}x+{\color{red}p} . Cette équation est l'équation réduite de la droite (d)\left(d\right) .
  • Le réel m{\color{blue}m} est appelé pente (ou coefficient directeur de la droite ) .
  • Le réel p{\color{red}p} est appelé ordonnée à l'origine .
    • La droite (d2)\left(d_{2}\right) a pour pente −5-5 alors y=−5x+py=-5x+p .
    Le point A(2;4)A\left(2;4\right) appartient à la droite (d2)\left(d_{2}\right), il vient alors que : yA=−5xA+py_{A}=-5x_{A}+p.
    Ce qui nous donne :
    4=(−5)×2+p4=\left(-5\right)\times 2+p
    4=−10+p4=-10+p que l'on peut aussi écrire :
    −10+p=4-10+p=4
    p=4+10p=4+10
    p=14p=14
    Finalement, l'équation réduite de la droite (d2)\left(d_{2}\right) est :
    y=−5x+14y=-5x+14
    Question 3

    Déterminer l'équation réduite de la droite (d3)\left(d_{3}\right) passant par A(0;−1)A\left(0;-1\right) et ayant pour pente (coefficient directeur) 77 .

    Correction
    Toute droite (d)\left(d\right) non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y=mx+py={\color{blue}m}x+{\color{red}p} . Cette équation est l'équation réduite de la droite (d)\left(d\right) .
  • Le réel m{\color{blue}m} est appelé pente (ou coefficient directeur de la droite ) .
  • Le réel p{\color{red}p} est appelé ordonnée à l'origine .
    • La droite (d3)\left(d_{3}\right) a pour pente 77 alors y=7x+py=7x+p .
    Le point A(0;−1)A\left(0;-1\right) appartient à la droite (d3)\left(d_{3}\right), il vient alors que : yA=7xA+py_{A}=7x_{A}+p.
    Ce qui nous donne :
    −1=7×0+p-1=7\times 0+p
    −1=p-1=p
    Finalement, l'équation réduite de la droite (d3)\left(d_{3}\right) est :
    y=7x−1y=7x-1