Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues : Méthode par substitution - Exercice 3

6 min
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Résoudre le système avec la méthode par substitution.
Question 1

{2x−3y=14x−2y=8\left\{\begin{array}{ccc} {2x-3y} & {=} & {14} \\ {x-2y} & {=} & {8} \end{array}\right.

Correction
{2x−3y=14x−2y=8\left\{\begin{array}{ccc} {2x-3y} & {=} & {14} \\ {{\color{red}x}-2y} & {=} & {8} \end{array}\right. . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode par substitution. Pour cela, on cherche une inconnue dont le coefficient vaut 11. Ici, à la deuxième ligne du système nous avons x{\color{red}x}. Nous allons donc exprimer xx en fonction de yy. Il vient alors que :
{2x−3y=14x=8+2y\left\{\begin{array}{ccc} {2x-3y} & {=} & {14} \\ {x} & {=} & {8+2y} \end{array}\right. . Nous allons maintenant remplacer xx par 8+2y8+2y dans la deuxième ligne .
{2×(8+2y)−3y=14x=8+2y\left\{\begin{array}{ccc} {2\times \left(8+2y\right)-3y} & {=} & {14} \\ {x} & {=} & {8+2y} \end{array}\right. . Maintenant, la première ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{2×8+2×2y−3y=14x=8+2y\left\{\begin{array}{ccc} {2\times 8+2\times 2y-3y} & {=} & {14} \\ {x} & {=} & {8+2y} \end{array}\right.
{16+4y−3y=14x=8+2y\left\{\begin{array}{ccc} {16+4y-3y} & {=} & {14} \\ {x} & {=} & {8+2y} \end{array}\right.
{16+y=14x=8+2y\left\{\begin{array}{ccc} {16+y} & {=} & {14} \\ {x} & {=} & {8+2y} \end{array}\right.
{y=14−16x=8+2y\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {14-16} \\ {x} & {=} & {8+2y} \end{array}\right.
{y=−2x=8+2y\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {-2} \\ {x} & {=} & {8+2y} \end{array}\right. Maintenant, nous connaissons la valeur de yy, il suffit de remplacer dans la première ligne le yy par −2-2. Il en résulte donc que :
{y=−2x=8+2×(−2)\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {-2} \\ {x} & {=} & {8+2\times \left(-2\right)} \end{array}\right.
{y=−2x=4\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {-2} \\ {x} & {=} & {4} \end{array}\right.
Le couple solution du système est alors :
S={(4;−2)}S=\left\{\left(4;-2\right)\right\}