Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues : Méthode par substitution - Exercice 2

6 min
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Résoudre le système avec la méthode par substitution.
Question 1

{x−5y=−132x+4y=16\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-5y} & {=} & {-13} \\ {2x+4y} & {=} & {16} \end{array}\right.

Correction
Il nous faut résoudre le système suivant :
{x−5y=−132x+4y=16\left\{\begin{array}{ccccccc} {{\color{red}x}-5y} & {=} & {-13} \\ {2x+4y} & {=} & {16} \end{array}\right. . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode par substitution. Pour cela, on cherche une inconnue dont le coefficient vaut 11. Ici, à la deuxième ligne du système nous avons x{\color{red}x}. Nous allons donc exprimer xx en fonction de yy. Il vient alors que :
{x=−13+5y2x+4y=16\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+5y} \\ {2x+4y} & {=} & {16} \end{array}\right. . Nous allons maintenant remplacer xx par −13+5y-13+5y dans la deuxième ligne .
{x=−13+5y2×(−13+5y)+4y=16\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+5y} \\ {2\times\left(-13+5y\right)+4y} & {=} & {16} \end{array}\right. . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{x=−13+5y2×(−13)+2×5y+4y=16\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+5y} \\ {2\times\left(-13\right)+2\times5y+4y} & {=} & {16} \end{array}\right.
{x=−13+5y−26+10y+4y=16\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+5y} \\ {-26+10y+4y} & {=} & {16} \end{array}\right.
{x=−13+5y−26+14y=16\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+5y} \\ {-26+14y} & {=} & {16} \end{array}\right.
{x=−13+5y14y=16+26\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+5y} \\ {14y} & {=} & {16+26} \end{array}\right.
{x=−13+5y14y=42\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+5y} \\ {14y} & {=} & {42} \end{array}\right.
{x=−13+5yy=4214\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+5y} \\ {y} & {=} & {\frac{42}{14}} \end{array}\right.
{x=−13+5yy=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+5y} \\ {y} & {=} & {3} \end{array}\right. Maintenant, nous connaissons la valeur de yy, il suffit de remplacer dans la première ligne le yy par 33. Il en résulte donc que :
{x=−13+5×3y=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+5\times3} \\ {y} & {=} & {3} \end{array}\right.
{x=−13+15y=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-13+15} \\ {y} & {=} & {3} \end{array}\right.
{x=2y=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {2} \\ {y} & {=} & {3} \end{array}\right.
Le couple solution du système est alors :
S={(2;3)}S=\left\{\left(2;3\right)\right\}