Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues : Méthode par substitution - Exercice 1

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Question 1
Résoudre le système avec la méthode par substitution.

{4x+2y=63x+y=4\left\{\begin{array}{ccccccc} {4x+2y} & {=} & {6} \\ {3x+y} & {=} & {4} \end{array}\right.

Correction
Il nous faut résoudre le système suivant :
{4x+2y=63x+y=4\left\{\begin{array}{ccccccc} {4x+2y} & {=} & {6} \\ {3x+{\color{red}y}} & {=} & {4} \end{array}\right. . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode par substitution. Pour cela, on cherche une inconnue dont le coefficient vaut 11. Ici, à la deuxième ligne du système nous avons y{\color{red}y}. Nous allons donc exprimer yy en fonction de xx. Il vient alors que :
{4x+2y=6y=4−3x\left\{\begin{array}{ccccccc} {4x+2y} & {=} & {6} \\ {y} & {=} & {4-3x} \end{array}\right. . Nous allons maintenant remplacer yy par 4−3x4-3x dans la première ligne .
{4x+2×(4−3x)=6y=4−3x\left\{\begin{array}{ccccccc} {4x+2\times\left(4-3x\right)} & {=} & {6} \\ {y} & {=} & {4-3x} \end{array}\right. . Maintenant, la première ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{4x+2×4+2×(−3)=6y=4−3x\left\{\begin{array}{ccccccc} {4x+2\times4+2\times\left(-3\right)} & {=} & {6} \\ {y} & {=} & {4-3x} \end{array}\right.
{4x+8−6x=6y=4−3x\left\{\begin{array}{ccccccc} {4x+8-6x} & {=} & {6} \\ {y} & {=} & {4-3x} \end{array}\right.
{−2x+8=6y=4−3x\left\{\begin{array}{ccccccc} {-2x+8} & {=} & {6} \\ {y} & {=} & {4-3x} \end{array}\right.
{−2x=6−8y=4−3x\left\{\begin{array}{ccccccc} {-2x} & {=} & {6-8} \\ {y} & {=} & {4-3x} \end{array}\right.
{−2x=−2y=4−3x\left\{\begin{array}{ccccccc} {-2x} & {=} & {-2} \\ {y} & {=} & {4-3x} \end{array}\right.
{x=−2−2y=4−3x\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{-2}{-2}} \\ {y} & {=} & {4-3x} \end{array}\right.
{x=1y=4−3x\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {4-3x} \end{array}\right. Maintenant, nous connaissons la valeur de xx, il suffit de remplacer dans la deuxième ligne le xx par 11. Il vient :
{x=1y=4−3×1\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {4-3\times1} \end{array}\right.
{x=1y=4−3\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {4-3} \end{array}\right.
{x=1y=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {1} \end{array}\right.
Le couple solution du système est alors :
S={(1;1)}S=\left\{\left(1;1\right)\right\}