Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues : Méthode par combinaison - Exercice 2

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On considère le système (S)\left(S\right) défini par les deux équations :
(S):{5x+6y=−13x+18y=9\left(S\right) :\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y} & {=} & {-1} \\ {3x+18y} & {=} & {9} \end{array}\right.
Question 1

Résoudre le système (S)\left(S\right), en utilisant la méthode par combinaison.

Correction
Il nous faut résoudre le système suivant :
{5x+6y=−13x+18y=9\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y} & {=} & {-1} \\ {3x+18y} & {=} & {9} \end{array}\right. . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par 33 et la deuxième ligne par −5-5 afin que les coefficients devant les xx soient opposées. Il vient alors que :
{5×3x+6×3y=−1×33×(−5)x+18×(−5)y=9×(−5)\left\{\begin{array}{ccccccc} {5{\color{blue}\times 3}x+6{\color{blue}\times 3}y} & {=} & {-1{\color{blue}\times 3}} \\ {3{\color{blue}\times (-5)}x+18{\color{blue}\times (-5)}y} & {=} & {9{\color{blue}\times (-5)}} \end{array}\right. .
{15x+18y=−3−15x−90y=−45\left\{\begin{array}{ccccccc} {15x+18y} & {=} & {-3} \\ {-15x-90y} & {=} & {-45} \end{array}\right. . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
{5x+6y=−115x+(−15x)+18y+(−90y)=−3+(−45)\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y} & {=} & {-1} \\ {15x+\left(-15x\right)+18y+\left(-90y\right)} & {=} & {-3+\left(-45\right)} \end{array}\right.
{5x+6y=−1−72y=−48\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y} & {=} & {-1} \\ {-72y} & {=} & {-48} \end{array}\right. . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{5x+6y=−1y=−48−72\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y} & {=} & {-1} \\ {y} & {=} & {\frac{-48}{-72}} \end{array}\right.
{5x+6y=−1y=23\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6y} & {=} & {-1} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right. Maintenant, nous connaissons la valeur de yy, il suffit de remplacer dans la première ligne le yy par 23\frac{2}{3}. Il vient :
{5x+6×23=−1y=23\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+6\times\frac{2}{3}} & {=} & {-1} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.
{5x+4=−1y=23\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x+4} & {=} & {-1} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.
{5x=−5y=23\left\{\begin{array}{ccccccc} {5x} & {=} & {-5} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.
{x=−55y=23\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{-5}{5}} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.
{x=−1y=23\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-1} \\ {y} & {=} & {\frac{2}{3}} \end{array}\right.
Le couple solution du système est alors :
S={(−1;23)}S=\left\{\left(-1;\frac{2}{3}\right)\right\}