Savoir utiliser la relation a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=\left|a\right| - Exercice 3

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Soit xx un nombre réel. On considère l'expression J=x2−6x+9J=\sqrt{x^{2}-6x+9}.
Question 1

Factoriser x2−6x+9x^{2}-6x+9.

Correction
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
x2−6x+9=x2−2×x×3+32x^{2}-6x+9=x^{2}-2\times x\times 3+3^{2}
x2−6x+9=(x−3)2x^{2}-6x+9=\left(x-3\right)^{2}
Question 2

En déduire que J=∣x−3∣J=\left|x-3\right|. Que représente JJ sur une droite graduée ?

Correction
    Pour tout réel aa :
  • a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=\left|a\right|
  • si a≥0a\geq 0 alors ∣a∣=a\left|a\right|=a ; si a≤0a\leq 0 alors ∣a∣=−a\left|a\right|=-a
D'après la question 1 : J=(x−3)2J=\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}
J=∣x−3∣J=\left|x-3\right|

Sur une droite graduée, ∣x−3∣\left|x-3\right| est la distance entre le point d'abscisse xx et le point d'abscisse 33.
Question 3

Calculer JJ pour x=1x=1, puis pour x=10x=10.

Correction
Pour x=1x=1 : J=∣1−3∣=∣−2∣J=\left|1-3\right|=\left|-2\right|
J=2J=2

Pour x=10x=10 : J=∣10−3∣=∣7∣J=\left|10-3\right|=\left|7\right|
J=7J=7

Vérification avec l'expression de départ : 12−6×1+9=41^{2}-6\times 1+9=4 et 4=2\sqrt{4}=2 ; 102−6×10+9=4910^{2}-6\times 10+9=49 et 49=7\sqrt{49}=7.
Ce sont bien les distances de 11 à 33 et de 1010 à 33 sur la droite graduée.
Question 4

Pour quelles valeurs de xx a-t-on J=x−3J=x-3 ?

Correction
J=∣x−3∣J=\left|x-3\right| et ∣x−3∣=x−3\left|x-3\right|=x-3 lorsque x−3≥0x-3\geq 0, c'est-à-dire lorsque x≥3x\geq 3.
J=x−3J=x-3 pour tout réel x≥3x\geq 3

Pour x<3x\lt 3, on a au contraire J=−(x−3)=3−xJ=-\left(x-3\right)=3-x.

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