Savoir utiliser la relation a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=\left|a\right| - Exercice 2

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Simplifier les nombres suivants. On étudiera d'abord le signe du nombre qui est élevé au carré.
Question 1

F=(2−5)2F=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}

Correction
    Pour tout réel aa :
  • a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=\left|a\right|
  • si a≥0a\geq 0 alors ∣a∣=a\left|a\right|=a ; si a≤0a\leq 0 alors ∣a∣=−a\left|a\right|=-a
Signe de 2−5\red{\text{Signe de }2-\sqrt{5}} : 2=42=\sqrt{4} et 4<5\sqrt{4}\lt\sqrt{5}, donc 2−5<02-\sqrt{5}\lt 0.
F=(2−5)2F=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}} équivaut successivement à :
F=∣2−5∣F=\left|2-\sqrt{5}\right|
F=−(2−5)F=-\left(2-\sqrt{5}\right) car 2−5<02-\sqrt{5}\lt 0
F=5−2F=\sqrt{5}-2
Question 2

G=(3−7)2G=\sqrt{\left(3-\sqrt{7}\right)^{2}}

Correction
    Pour tout réel aa :
  • a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=\left|a\right|
  • si a≥0a\geq 0 alors ∣a∣=a\left|a\right|=a ; si a≤0a\leq 0 alors ∣a∣=−a\left|a\right|=-a
Signe de 3−7\red{\text{Signe de }3-\sqrt{7}} : 3=93=\sqrt{9} et 9>7\sqrt{9}\gt\sqrt{7}, donc 3−7>03-\sqrt{7}\gt 0.
G=(3−7)2G=\sqrt{\left(3-\sqrt{7}\right)^{2}} équivaut successivement à :
G=∣3−7∣G=\left|3-\sqrt{7}\right|
G=3−7G=3-\sqrt{7}
Question 3

H=(π−4)2H=\sqrt{\left(\pi-4\right)^{2}}

Correction
    Pour tout réel aa :
  • a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=\left|a\right|
  • si a≥0a\geq 0 alors ∣a∣=a\left|a\right|=a ; si a≤0a\leq 0 alors ∣a∣=−a\left|a\right|=-a
Signe de π−4\red{\text{Signe de }\pi-4} : π≈3,14\pi\approx 3{,}14, donc π−4<0\pi-4\lt 0.
H=(π−4)2H=\sqrt{\left(\pi-4\right)^{2}} équivaut successivement à :
H=∣π−4∣H=\left|\pi-4\right|
H=−(π−4)H=-\left(\pi-4\right)
H=4−πH=4-\pi
Question 4

I=(1−2)2+(3−2)2I=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}+\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^{2}}

Correction
    Pour tout réel aa :
  • a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=\left|a\right|
  • si a≥0a\geq 0 alors ∣a∣=a\left|a\right|=a ; si a≤0a\leq 0 alors ∣a∣=−a\left|a\right|=-a
Signes\red{\text{Signes}} : 1=1<21=\sqrt{1}\lt\sqrt{2}, donc 1−2<01-\sqrt{2}\lt 0 ; 3=9>23=\sqrt{9}\gt\sqrt{2}, donc 3−2>03-\sqrt{2}\gt 0.
I=(1−2)2+(3−2)2I=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}+\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^{2}} équivaut successivement à :
I=∣1−2∣+∣3−2∣I=\left|1-\sqrt{2}\right|+\left|3-\sqrt{2}\right|
I=(2−1)+(3−2)I=\left(\sqrt{2}-1\right)+\left(3-\sqrt{2}\right)
I=2−1+3−2I=\sqrt{2}-1+3-\sqrt{2}
I=2I=2

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