Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées

Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des racines carrées - Exercice 8

15 min
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Écrire sous la forme aba\sqrt{b} , où aa et bb sont deux entiers positifs, bb étant le plus petit possible, les nombres suivants :
Question 1

A=(11+22)2A= (\sqrt{11}+2\sqrt{2})^{2}

Correction
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
    • Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
  • (ab)2=a2×b2(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
A=(11+22)2A= (\sqrt{11}+2\sqrt{2})^{2} équivaut successivement à :
A=(11)2+2×11×22+(22)2A= (\sqrt{11})^{2}+2\times \sqrt{11}\times 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^{2}
A=11+411×2+22×22A=11+4\sqrt{11\times 2}+2^{2}\times \sqrt{2}^{2}
A=11+422+8A=11+4\sqrt{22}+8
A=19+422A=19+4\sqrt{22}

Question 2

B=(23−46)2B= (2\sqrt{3}-4\sqrt{6})^{2}

Correction
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
    • Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
  • (ab)2=a2×b2(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
B=(23−46)2B= (2\sqrt{3}-4\sqrt{6})^{2} équivaut successivement à :
B=(23)2−2×23×46+(46)2B= (2\sqrt{3})^{2}-2\times 2\sqrt{3}\times 4\sqrt{6}+(4\sqrt{6})^{2}
B=22×32−2×2×43×6+42×62B=2^{2}\times\sqrt{3}^{2}-2\times2\times4\sqrt{3\times 6}+4^{2}\times\sqrt{6}^{2}
B=4×3−1618+16×6B=4\times3-16\sqrt{18}+16\times6
B=12−1618+96B=12-16\sqrt{18}+96
B=108−1618B=108-16\sqrt{18}
B=108−169×2B=108-16\sqrt{9\times 2}
B=108−16×9×2B=108-16\times \sqrt{9}\times \sqrt{2}
B=108−16×3×2B=108-16\times 3\times \sqrt{2}
Ainsi :
B=108−482B=108-48\sqrt{2}

Question 3

C=(35−26)2C= (3\sqrt{5}-2\sqrt{6})^{2}

Correction
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
    • Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
  • (ab)2=a2×b2(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
C=(35−26)2C= (3\sqrt{5}-2\sqrt{6})^{2} équivaut successivement à :
C=(35)2−2×35×26+(26)2C= (3\sqrt{5})^{2}-2\times 3\sqrt{5}\times 2\sqrt{6}+(2\sqrt{6})^{2}
C=32×52−2×3×25×6+22×62C=3^{2}\times\sqrt{5}^{2}-2\times3\times2\sqrt{5\times 6}+2^{2}\times\sqrt{6}^{2}
C=9×5−1230+4×6C=9\times5-12\sqrt{30}+4\times6
C=45−1230+24C=45-12\sqrt{30}+24
C=69−1230C=69-12\sqrt{30}

Question 4

D=(53−24)(53+24)D= (5\sqrt{3}-2\sqrt{4})(5\sqrt{3}+2\sqrt{4})

Correction
  • (a−b)(a+b)=a2−b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
    • Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
  • (ab)2=a2×b2(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
D=(53−24)(53+24)D= (5\sqrt{3}-2\sqrt{4})(5\sqrt{3}+2\sqrt{4}) équivaut successivement à :
D=(53)2−(24)2D= (5\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{4})^{2}
D=52×32−22×42D=5^{2}\times\sqrt{3}^{2}-2^{2}\times\sqrt{4}^{2}
D=25×3−4×4D=25\times3-4\times4
D=75−16D=75-16
D=59D=59