Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées

Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des racines carrées - Exercice 7

15 min
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Écrire sous la forme aba\sqrt{b} , où aa et bb sont deux entiers positifs, bb étant le plus petit possible, les nombres suivants :
Question 1

A=(39)(9−2)A= (3\sqrt{9})(\sqrt{9}-2)

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
A=(39)(9−2)A= (3\sqrt{9})(\sqrt{9}-2) équivaut successivement à :
A=39×9+39×(−2)A=3\sqrt{9}\times \sqrt{9}+3\sqrt{9}\times (-2)
A=39×9−2×33×3A= 3\sqrt{9\times9} -2\times3\sqrt{3\times3}
A=392−632A=3\sqrt{9^{2}}-6\sqrt{3^{2}}
A=3×9−6×3A=3 \times9-6\times3
A=27−18A=27-18
A=9A=9

Question 2

B=(22−3)(53+2)B= (2\sqrt{2}-\sqrt{3})(5\sqrt{3}+\sqrt{2})

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
B=(22−3)(53+2)B= (2\sqrt{2}-\sqrt{3})(5\sqrt{3}+\sqrt{2}) équivaut successivement à :
B=22×53+22×2−3×53−3×2B=2\sqrt{2}\times 5\sqrt{3}+2\sqrt{2}\times \sqrt{2} -\sqrt{3}\times 5\sqrt{3}-\sqrt{3}\times \sqrt{2}
B=2×52×3+22×2−53×3−3×2B=2\times5\sqrt{2\times3} + 2\sqrt{2\times 2}-5\sqrt{3\times3} -\sqrt{3\times2}
B=106+222−532−6B= 10{\color{red}\sqrt{6}} +2\sqrt{2^{2}} -5\sqrt{3^{2}} -{\color{red}\sqrt{6}}
B=(10−1)6+2×2−5×3B= (10-1){\color{red}\sqrt{6}}+2\times2-5\times 3
B=96+4−15B=9\sqrt{6}+4-15
B=−11+96B=-11+9\sqrt{6}

Question 3

C=(4−25)(45+24)C=(\sqrt{4} -2\sqrt{5})( 4\sqrt{5}+2\sqrt{4})

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
C=(4−25)(45+24)C=(\sqrt{4} -2\sqrt{5})( 4\sqrt{5}+2\sqrt{4}) équivaut successivement à :
C=4×45+4×24−25×45−25×24C=\sqrt{4}\times4\sqrt{5}+\sqrt{4}\times 2\sqrt{4} -2\sqrt{5}\times 4\sqrt{5}-2\sqrt{5}\times 2\sqrt{4}
C=22×45+24×4−2×45×5−25×222C=\sqrt{2^{2}}\times4\sqrt{5}+2\sqrt{4\times 4} -2\times4\sqrt{5\times5}-2\sqrt{5}\times 2\sqrt{2^{2}}
C=2×45+242−852−25×2×2C= 2\times4\sqrt{5} +2\sqrt{4^{2}}-8\sqrt{5^{2}}-2\sqrt{5}\times 2 \times 2
C=85+2×4−8×5−85C= 8\sqrt{5} +2\times 4- 8 \times 5 -8\sqrt{5}
C=2×4−8×5C= 2\times4-8\times5
C=8−40C= 8-40
C=−32C=-32

Question 4

D=(27−53)(43+37)D=(2\sqrt{7} -5\sqrt{3})( 4\sqrt{3}+3\sqrt{7})

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
D=(27−53)(43+37)D=(2\sqrt{7} -5\sqrt{3})( 4\sqrt{3}+3\sqrt{7}) équivaut successivement à :
D=27×43+27×37−53×43−53×37D=2\sqrt{7}\times4\sqrt{3}+2\sqrt{7}\times 3\sqrt{7} -5\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}-5\sqrt{3}\times 3\sqrt{7}
D=2×47×3+2×37×7−5×43×3−5×33×7D=2\times4\sqrt{7\times3} + 2\times3\sqrt{7\times 7}-5\times4\sqrt{3\times3} -5\times3\sqrt{3\times7}
D=821+672−2032−1521D= 8{\color{red}\sqrt{21}} +6\sqrt{7^{2}} -20\sqrt{3^{2}} -15{\color{red}\sqrt{21}}
D=(8−15)21+6×7−20×3D= (8-15){\color{red}\sqrt{21}}+6\times7-20\times3
D=−721+42−60D= -7\sqrt{21}+42-60
D=−18−721D=-18-7\sqrt{21}