Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées

Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des racines carrées - Exercice 5

20 min
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Écrire sous la forme aba\sqrt{b} , où aa et bb sont deux entiers, bb étant le plus petit possible, les nombres suivants :
Question 1

A=63A=\sqrt{63}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
A=63A=\sqrt{63} équivaut successivement à :
A=9×7A=\sqrt{9\times 7}
A=9×7A=\sqrt{9} \times \sqrt{7}
A=32×7A=\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{7}
A=37A=3\sqrt{7}

Question 2

A=50A=\sqrt{50}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
A=50A=\sqrt{50} équivaut successivement à :
A=25×2A=\sqrt{25\times 2}
A=25×2A=\sqrt{25} \times \sqrt{2}
A=52×2A=\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{2}
A=52A=5\sqrt{2}

Question 3

A=48A=\sqrt{48}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
A=48A=\sqrt{48} équivaut successivement à :
A=16×3A=\sqrt{16\times 3}
A=16×3A=\sqrt{16} \times \sqrt{3}
A=42×3A=\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{3}
A=43A=4\sqrt{3}
Question 4

B=2300B=2\sqrt{300}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
B=2300B=2\sqrt{300} équivaut successivement à :
B=2100×3B=2\sqrt{100\times 3}
B=2100×3B=2\sqrt{100} \times \sqrt{3}
B=2102×3B=2\sqrt{10^{2} } \times \sqrt{3}
B=2×10×3B=2\times 10\times \sqrt{3}
B=203B=20\sqrt{3}

Question 5

C=12−53+248C=\sqrt{12} -5\sqrt{3} +2\sqrt{48}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
C=12−53+248C=\sqrt{12} -5\sqrt{3} +2\sqrt{48} équivaut successivement à :
C=4×3−53+216×3C=\sqrt{4\times 3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{16\times 3}
C=4×3−53+216×3C=\sqrt{4} \times \sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{16} \times \sqrt{3}
C=22×3−53+242×3C=\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{3}
C=23−53+2×4×3C=2\sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\times 4\times \sqrt{3}
C=23−53+83C=2{\color{blue}\sqrt{3}} -5{\color{blue}\sqrt{3}} +8{\color{blue}\sqrt{3}} . Nous allons factoriser par 3{\color{blue}\sqrt{3}} .
C=(2−5+8)3C=\left(2-5+8\right){\color{blue}\sqrt{3}}
C=53C=5\sqrt{3}

Question 6

D=272−92D=2\sqrt{72} -9\sqrt{2}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
D=272−92D=2\sqrt{72} -9\sqrt{2} équivaut successivement à :
D=236×2−92D=2\sqrt{36\times 2} -9\sqrt{2}
D=236×2−92D=2\sqrt{36} \times \sqrt{2} -9\sqrt{2}
D=2×62×2−92D=2\times \sqrt{6^{2} } \times \sqrt{2} -9\sqrt{2}
D=2×6×2−92D=2\times 6\times \sqrt{2} -9\sqrt{2}
D=122−92D=12{\color{blue}\sqrt{2}} -9{\color{blue}\sqrt{2}} . Nous allons factoriser par 2{\color{blue}\sqrt{2}} .
D=(12−9)2D=\left(12-9\right){\color{blue}\sqrt{2}}
D=32D=3\sqrt{2}

Question 7

E=463−2175+8112−328E=4\sqrt{63} -2\sqrt{175} +8\sqrt{112} -3\sqrt{28}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
E=463−2175+8112−328E=4\sqrt{63} -2\sqrt{175} +8\sqrt{112} -3\sqrt{28} équivaut successivement à :
E=49×7−225×7+816×7−34×7E=4\sqrt{9\times 7} -2\sqrt{25\times 7} +8\sqrt{16\times 7} -3\sqrt{4\times 7}
E=49×7−225×7+816×7−34×7E=4\sqrt{9} \times \sqrt{7} -2\sqrt{25} \times \sqrt{7} +8\sqrt{16} \times \sqrt{7} -3\sqrt{4} \times \sqrt{7}
E=432×7−252×7+842×7−322×7E=4\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{7} -2\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{7} +8\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{7} -3\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{7}
E=4×3×7−2×5×7+8×4×7−3×2×7E=4\times 3\times \sqrt{7} -2\times 5\times \sqrt{7} +8\times 4\times \sqrt{7} -3\times 2\times \sqrt{7}
E=127−107+327−67E=12{\color{blue}\sqrt{7}} -10{\color{blue}\sqrt{7}} +32{\color{blue}\sqrt{7}} -6{\color{blue}\sqrt{7}} . Nous allons factoriser par 7{\color{blue}\sqrt{7}} .
E=(12−10+32−6)7E=\left(12-10+32-6\right){\color{blue}\sqrt{7}}
E=287E=28\sqrt{7}

Question 8

F=924−3150+1196F=9\sqrt{24} -3\sqrt{150} +11\sqrt{96}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
F=924−3150+1196F=9\sqrt{24} -3\sqrt{150} +11\sqrt{96} équivaut successivement à :
F=94×6−325×6+1116×6F=9\sqrt{4\times 6} -3\sqrt{25\times 6} +11\sqrt{16\times 6}
F=94×6−325×6+1116×6F=9\sqrt{4} \times \sqrt{6} -3\sqrt{25} \times \sqrt{6} +11\sqrt{16} \times \sqrt{6}
F=922×6−352×6+1142×6F=9\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{6} -3\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{6} +11\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{6}
F=9×2×6−3×5×6+11×4×6F=9\times 2\times \sqrt{6} -3\times 5\times \sqrt{6} +11\times 4\times \sqrt{6}
F=186−156+446F=18{\color{blue}\sqrt{6}} -15{\color{blue}\sqrt{6}} +44{\color{blue}\sqrt{6}} . Nous allons factoriser par 6{\color{blue}\sqrt{6}} .
F=(18−15+44)6F=\left(18-15+44\right){\color{blue}\sqrt{6}}
F=476F=47\sqrt{6}
Question 9

G=2032−308−2200G=20\sqrt{32} -30\sqrt{8} -2\sqrt{200}

Correction
G=2032−308−2200G=20\sqrt{32} -30\sqrt{8} -2\sqrt{200} équivaut successivement à :
G=2016×2−304×2−2100×2G=20\sqrt{16\times 2} -30\sqrt{4\times 2} -2\sqrt{100\times 2}
G=2016×2−304×2−2100×2G=20\sqrt{16} \times \sqrt{2} -30\sqrt{4} \times \sqrt{2} -2\sqrt{100} \times \sqrt{2}
G=2042×2−3022×2−2102×2G=20\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{2} -30\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{2} -2\sqrt{10^{2} } \times \sqrt{2}
G=20×4×2−30×3×2−2×10×2G=20\times 4\times \sqrt{2} -30\times 3\times \sqrt{2} -2\times 10\times \sqrt{2}
G=80×2−60×2−20×2G=80\times {\color{blue}\sqrt{2}} -60\times {\color{blue}\sqrt{2}} -20\times {\color{blue}\sqrt{2}} . Nous allons factoriser par 2{\color{blue}\sqrt{2}} .
G=(80−60−20)2G=\left(80-60-20\right){\color{blue}\sqrt{2}}
G=0G=0