Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des racines carrées - Exercice 5

20 min
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Écrire sous la forme aba\sqrt{b} , où aa et bb sont deux entiers, bb étant le plus petit possible, les nombres suivants :
Question 1

A=63A=\sqrt{63}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
A=63A=\sqrt{63} équivaut successivement à :
A=9×7A=\sqrt{9\times 7}
A=9×7A=\sqrt{9} \times \sqrt{7}
A=32×7A=\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{7}
A=37A=3\sqrt{7}

Question 2

B=50B=\sqrt{50}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
B=50B=\sqrt{50} équivaut successivement à :
B=25×2B=\sqrt{25\times 2}
B=25×2B=\sqrt{25} \times \sqrt{2}
B=52×2B=\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{2}
B=52B=5\sqrt{2}

Question 3

C=48C=\sqrt{48}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
C=48C=\sqrt{48} équivaut successivement à :
C=16×3C=\sqrt{16\times 3}
C=16×3C=\sqrt{16} \times \sqrt{3}
C=42×3C=\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{3}
C=43C=4\sqrt{3}
Question 4

D=2300D=2\sqrt{300}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
D=2300D=2\sqrt{300} équivaut successivement à :
D=2100×3D=2\sqrt{100\times 3}
D=2100×3D=2\sqrt{100} \times \sqrt{3}
D=2102×3D=2\sqrt{10^{2} } \times \sqrt{3}
D=2×10×3D=2\times 10\times \sqrt{3}
D=203D=20\sqrt{3}

Question 5

E=12−53+248E=\sqrt{12} -5\sqrt{3} +2\sqrt{48}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
E=12−53+248E=\sqrt{12} -5\sqrt{3} +2\sqrt{48} équivaut successivement à :
E=4×3−53+216×3E=\sqrt{4\times 3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{16\times 3}
E=4×3−53+216×3E=\sqrt{4} \times \sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{16} \times \sqrt{3}
E=22×3−53+242×3E=\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{3}
E=23−53+2×4×3E=2\sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\times 4\times \sqrt{3}
E=23−53+83E=2{\color{blue}\sqrt{3}} -5{\color{blue}\sqrt{3}} +8{\color{blue}\sqrt{3}} . Nous allons factoriser par 3{\color{blue}\sqrt{3}} .
E=(2−5+8)3E=\left(2-5+8\right){\color{blue}\sqrt{3}}
E=53E=5\sqrt{3}

Question 6

F=272−92F=2\sqrt{72} -9\sqrt{2}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
F=272−92F=2\sqrt{72} -9\sqrt{2} équivaut successivement à :
F=236×2−92F=2\sqrt{36\times 2} -9\sqrt{2}
F=236×2−92F=2\sqrt{36} \times \sqrt{2} -9\sqrt{2}
F=2×62×2−92F=2\times \sqrt{6^{2} } \times \sqrt{2} -9\sqrt{2}
F=2×6×2−92F=2\times 6\times \sqrt{2} -9\sqrt{2}
F=122−92F=12{\color{blue}\sqrt{2}} -9{\color{blue}\sqrt{2}} . Nous allons factoriser par 2{\color{blue}\sqrt{2}} .
F=(12−9)2F=\left(12-9\right){\color{blue}\sqrt{2}}
F=32F=3\sqrt{2}

Question 7

G=463−2175+8112−328G=4\sqrt{63} -2\sqrt{175} +8\sqrt{112} -3\sqrt{28}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
G=463−2175+8112−328G=4\sqrt{63} -2\sqrt{175} +8\sqrt{112} -3\sqrt{28} équivaut successivement à :
G=49×7−225×7+816×7−34×7G=4\sqrt{9\times 7} -2\sqrt{25\times 7} +8\sqrt{16\times 7} -3\sqrt{4\times 7}
G=49×7−225×7+816×7−34×7G=4\sqrt{9} \times \sqrt{7} -2\sqrt{25} \times \sqrt{7} +8\sqrt{16} \times \sqrt{7} -3\sqrt{4} \times \sqrt{7}
G=432×7−252×7+842×7−322×7G=4\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{7} -2\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{7} +8\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{7} -3\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{7}
G=4×3×7−2×5×7+8×4×7−3×2×7G=4\times 3\times \sqrt{7} -2\times 5\times \sqrt{7} +8\times 4\times \sqrt{7} -3\times 2\times \sqrt{7}
G=127−107+327−67G=12{\color{blue}\sqrt{7}} -10{\color{blue}\sqrt{7}} +32{\color{blue}\sqrt{7}} -6{\color{blue}\sqrt{7}} . Nous allons factoriser par 7{\color{blue}\sqrt{7}} .
G=(12−10+32−6)7G=\left(12-10+32-6\right){\color{blue}\sqrt{7}}
G=287G=28\sqrt{7}

Question 8

H=924−3150+1196H=9\sqrt{24} -3\sqrt{150} +11\sqrt{96}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
H=924−3150+1196H=9\sqrt{24} -3\sqrt{150} +11\sqrt{96} équivaut successivement à :
H=94×6−325×6+1116×6H=9\sqrt{4\times 6} -3\sqrt{25\times 6} +11\sqrt{16\times 6}
H=94×6−325×6+1116×6H=9\sqrt{4} \times \sqrt{6} -3\sqrt{25} \times \sqrt{6} +11\sqrt{16} \times \sqrt{6}
H=922×6−352×6+1142×6H=9\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{6} -3\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{6} +11\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{6}
H=9×2×6−3×5×6+11×4×6H=9\times 2\times \sqrt{6} -3\times 5\times \sqrt{6} +11\times 4\times \sqrt{6}
H=186−156+446H=18{\color{blue}\sqrt{6}} -15{\color{blue}\sqrt{6}} +44{\color{blue}\sqrt{6}} . Nous allons factoriser par 6{\color{blue}\sqrt{6}} .
H=(18−15+44)6H=\left(18-15+44\right){\color{blue}\sqrt{6}}
H=476H=47\sqrt{6}
Question 9

I=2032−308−2200I=20\sqrt{32} -30\sqrt{8} -2\sqrt{200}

Correction
I=2032−308−2200I=20\sqrt{32} -30\sqrt{8} -2\sqrt{200} équivaut successivement à :
I=2016×2−304×2−2100×2I=20\sqrt{16\times 2} -30\sqrt{4\times 2} -2\sqrt{100\times 2}
I=2016×2−304×2−2100×2I=20\sqrt{16} \times \sqrt{2} -30\sqrt{4} \times \sqrt{2} -2\sqrt{100} \times \sqrt{2}
I=2042×2−3022×2−2102×2I=20\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{2} -30\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{2} -2\sqrt{10^{2} } \times \sqrt{2}
I=20×4×2−30×2×2−2×10×2I=20\times 4\times \sqrt{2} -30\times 2\times \sqrt{2} -2\times 10\times \sqrt{2}
I=80×2−60×2−20×2I=80\times {\color{blue}\sqrt{2}} -60\times {\color{blue}\sqrt{2}} -20\times {\color{blue}\sqrt{2}} . Nous allons factoriser par 2{\color{blue}\sqrt{2}} .
I=(80−60−20)2I=\left(80-60-20\right){\color{blue}\sqrt{2}}
I=0I=0

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