Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées

Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des puissances - Exercice 4

10 min
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Simplifier au maximum les expressions suivantes :
Question 1

F=7−4×712×72(73)2F=\frac{7^{-4} \times 7^{12} \times 7^{2} }{\left(7^{3} \right)^{2} }

Correction
Soit xx un réel.
  • xa×xb=xa+bx^{a} \times x^{b} =x^{a+b}
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
  • (xa)b=xa×b\left(x^{a} \right)^{b} =x^{a\times b}
  • x−a=1xax^{-a} =\frac{1}{x^{a} }
F=7−4×712×72(73)2F=\frac{7^{-4} \times 7^{12} \times 7^{2} }{\left(7^{3} \right)^{2} }
F=7−4+12+273×2F=\frac{7^{-4+12+2} }{7^{3\times 2} }
F=71076F=\frac{7^{10} }{7^{6} }
F=710−6F=7^{10-6}
F=74F=7^{4}
Question 2

E=x−5×(−y)8×y−3×(−x)13E=x^{-5} \times \left(-y\right)^{8} \times y^{-3} \times \left(-x\right)^{13}

Correction
Soit xx un réel.
  • xa×xb=xa+bx^{a} \times x^{b} =x^{a+b}
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
  • (xa)b=xa×b\left(x^{a} \right)^{b} =x^{a\times b}
  • x−a=1xax^{-a} =\frac{1}{x^{a} }
On remarque que : −y=(−1)×y-y=\left(-1\right)\times y et que −x=(−1)×x-x=\left(-1\right)\times x
E=x−5×(−y)8×y−3×(−x)13E=x^{-5} \times \left(-y\right)^{8} \times y^{-3} \times \left(-x\right)^{13} équivaut successivement à :
E=x−5×((−1)×y)8×y−3×((−1)×x)13E=x^{-5} \times \left(\left(-1\right)\times y\right)^{8} \times y^{-3} \times \left(\left(-1\right)\times x\right)^{13}
E=x−5×(−1)8×y8×y−3×(−1)13×x13E=x^{-5} \times \left(-1\right)^{8} \times y^{8} \times y^{-3} \times \left(-1\right)^{13} \times x^{13}
  • Si nn est pair alors (−1)n=1\left(-1\right)^{n}=1
  • Si nn est impair alors (−1)n=−1\left(-1\right)^{n}=-1
E=x−5×1×y8×y−3×(−1)×x13E=x^{-5} \times 1\times y^{8} \times y^{-3} \times \left(-1\right)\times x^{13}
E=−x−5×x13×y8×y−3E=-x^{-5} \times x^{13} \times y^{8} \times y^{-3}
E=−x−5+13×y8+(−3)E=-x^{-5+13} \times y^{8+\left(-3\right)}
E=−x8×y5E=-x^{8} \times y^{5}
Ainsi :
E=−x8y5E=-x^{8} y^{5}

Question 3

G=(53)4312×712G=\frac{\left(5^{3} \right)^{4} }{3^{12} \times 7^{12} }

Correction
Soient xx et yy deux réels.
  • xa×xb=xa+bx^{a} \times x^{b} =x^{a+b}
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
  • (xa)b=xa×b\left(x^{a} \right)^{b} =x^{a\times b}
  • x−a=1xax^{-a} =\frac{1}{x^{a} }
  • xaya=(xy)a\frac{x^{a} }{y^{a} } =\left(\frac{x}{y} \right)^{a}
  • xa×ya=(xy)ax^{a} \times y^{a} =\left(xy\right)^{a}
G=(53)4312×712G=\frac{\left(5^{3} \right)^{4} }{3^{12} \times 7^{12} }
G=53×4312×712G=\frac{5^{3\times 4} }{3^{12} \times 7^{12} }
G=512312×712G=\frac{5^{12} }{3^{12} \times 7^{12} }
G=512(3×7)12G=\frac{5^{12} }{\left(3\times 7\right)^{12} }
G=5122112G=\frac{5^{12} }{21^{12} }
Ainsi :
G=(521)12G=\left(\frac{5}{21} \right)^{12}

Question 4

H=(5×7)4×52×7−9×56H=\left(5\times 7\right)^{4} \times 5^{2} \times 7^{-9} \times 5^{6}

Correction
Soient xx et yy deux réels.
  • xa×xb=xa+bx^{a} \times x^{b} =x^{a+b}
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
  • (xa)b=xa×b\left(x^{a} \right)^{b} =x^{a\times b}
  • x−a=1xax^{-a} =\frac{1}{x^{a} }
  • xaya=(xy)a\frac{x^{a} }{y^{a} } =\left(\frac{x}{y} \right)^{a}
  • xa×ya=(xy)ax^{a} \times y^{a} =\left(xy\right)^{a}
H=(5×7)4×52×7−9×56H=\left(5\times 7\right)^{4} \times 5^{2} \times 7^{-9} \times 5^{6}
H=54×74×52×7−9×56H=5^{4} \times 7^{4} \times 5^{2} \times 7^{-9} \times 5^{6}
H=54×52×56×74×7−9H=5^{4} \times 5^{2} \times 5^{6} \times 7^{4} \times 7^{-9}
H=54+2+6×74+(−9)H=5^{4+2+6} \times 7^{4+\left(-9\right)}
Ainsi :
H=512×7−5H=5^{12} \times 7^{-5}