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Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des puissances - Exercice 1

20 min
40
Simplifier au maximum les expressions suivantes :
Question 1

A=102×105A=10^{2} \times 10^{5}

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10a−b\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10−a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
  • xa×xb=xa+bx^{a}\times x^{b} =x^{a+b}
  • (xy)a=xaya\left(\frac{x}{y} \right)^{a} =\frac{x^{a} }{y^{a} }
  • (xy)a=xa×ya\left(xy\right)^{a} =x^{a} \times y^{a}
A=102×105A=10^{2} \times 10^{5} équivaut successivement à :
A=102+5A=10^{2+5}
Ainsi :
A=107A=10^{7}

Question 2

B=104×10−3×106B=10^{4} \times 10^{-3}\times 10^{6}

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10a−b\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10−a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
  • (xy)a=xaya\left(\frac{x}{y} \right)^{a} =\frac{x^{a} }{y^{a} }
  • (xy)a=xa×ya\left(xy\right)^{a} =x^{a} \times y^{a}
B=104×10−3×106B=10^{4} \times 10^{-3}\times 10^{6} équivaut successivement à :
B=104+(−3)+6B=10^{4+\left(-3\right)+6}
B=104−3+6B=10^{4-3+6}
Ainsi :
B=107B=10^{7}
Question 3

C=105×108104C=\frac{10^{5} \times 10^{8} }{10^{4} }

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10a−b\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10−a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
  • (xy)a=xaya\left(\frac{x}{y} \right)^{a} =\frac{x^{a} }{y^{a} }
  • (xy)a=xa×ya\left(xy\right)^{a} =x^{a} \times y^{a}
C=105×108104C=\frac{10^{5} \times 10^{8} }{10^{4} } équivaut successivement à :
C=105+8104C=\frac{10^{5+8} }{10^{4} }
C=1013104C=\frac{10^{13} }{10^{4} }
C=1013−4C=10^{13-4}
Ainsi :
C=109C=10^{9}

Question 4

D=(102)3×10−1(102×105)2D=\frac{\left(10^{2} \right)^{3} \times 10^{-1} }{\left(10^{2} \times 10^{5} \right)^{2} }

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10a−b\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10−a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
D=(102)3×10−1(102×105)2D=\frac{\left(10^{2} \right)^{3} \times 10^{-1} }{\left(10^{2} \times 10^{5} \right)^{2} } équivaut successivement à :
D=102×3×10−1(102+5)2D=\frac{10^{2\times 3} \times 10^{-1} }{\left(10^{2+5} \right)^{2} }
D=106×10−1(107)2D=\frac{10^{6} \times 10^{-1} }{\left(10^{7} \right)^{2} }
D=106+(−1)107×2D=\frac{10^{6+\left(-1\right)} }{10^{7\times 2} }
D=1051014D=\frac{10^{5} }{10^{14} }
D=105−14D=10^{5-14}
Ainsi :
D=10−9D=10^{-9}

Question 5

E=36×3−4×3233×3E=\frac{3^6\times 3^{-4}\times 3^2}{3^3\times 3}

Correction
    Soit xx un réel non nul.
  • xa×xb=xa+bx^{a} \times x^{b} =x^{a+b}
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
  • x0=1x^{0} =1
E=36×3−4×3233×3E=\frac{3^6\times 3^{-4}\times 3^2}{3^3\times 3} équivaut successivement à :
E=36×3−4×3233×31E=\frac{3^6\times 3^{-4}\times 3^2}{3^3\times 3^1}
E=36+(−4)+233+1E=\frac{3^{6+\left(-4\right)+2}}{3^{3+1}}
E=3434E=\frac{3^4}{3^4}
E=34−4E=3^{4-4}
E=30E=3^0
Soit xx un réel non nul.
  • x0=1x^{0} =1
Ainsi :
E=1E=1

Question 6

F=(42)3(4−1)6×(4−3)4(45)2F=\frac{{\left(4^2\right)}^3}{{\left(4^{-1}\right)}^6}\times \frac{{\left(4^{-3}\right)}^4}{{\left(4^5\right)}^2}

Correction
    Soit xx un réel non nul.
  • xa×xb=xa+bx^{a} \times x^{b} =x^{a+b}
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
  • (xa)b=xa×b\left(x^{a} \right)^{b} =x^{a\times b}
F=(42)3(4−1)6×(4−3)4(45)2F=\frac{{\left(4^2\right)}^3}{{\left(4^{-1}\right)}^6}\times \frac{{\left(4^{-3}\right)}^4}{{\left(4^5\right)}^2} équivaut successivement à :
F=42×34(−1)×6×4(−3)×445×2F=\frac{4^{2\times 3}}{4^{\left(-1\right)\times 6}}\times \frac{4^{\left(-3\right)\times 4}}{4^{5\times 2}}
F=464−6×4−12410F=\frac{4^6}{4^{-6}}\times \frac{4^{-12}}{4^{10}}
F=46−(−6)×4−12−10F=4^{6-\left(-6\right)}\times 4^{-12-10}
F=46+6×4−12−10F=4^{6+6}\times 4^{-12-10}
F=412×4−22F=4^{12}\times 4^{-22}
F=412+(−22)F=4^{12+\left(-22\right)}
Ainsi :
F=4−10F=4^{-10}

Question 7

G=((10−4)3)2G={\left({\left({10}^{-4}\right)}^3\right)}^2

Correction
    Soit xx un réel non nul.
  • (xa)b=xa×b\left(x^{a} \right)^{b} =x^{a\times b}
G=((10−4)3)2G={\left({\left({10}^{-4}\right)}^3\right)}^2
G=(10(−4)×3)2G={\left({10}^{\left(-4\right)\times 3}\right)}^2
G=(10−12)2G={\left({10}^{-12}\right)}^2
G=10(−12)×2G={10}^{\left(-12\right)\times 2}
Ainsi :
G=10−24G={10}^{-24}

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