Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées

Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des puissances - Exercice 1

8 min
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Simplifier au maximum les expressions suivantes :
Question 1

A=102×105A=10^{2} \times 10^{5}

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10ab\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
  • xa×xb=xa+bx^{a}\times x^{b} =x^{a+b}
  • (xy)a=xaya\left(\frac{x}{y} \right)^{a} =\frac{x^{a} }{y^{a} }
  • (xy)a=xa×ya\left(xy\right)^{a} =x^{a} \times y^{a}
A=102×105A=10^{2} \times 10^{5} équivaut successivement à :
A=102+5A=10^{2+5}
A=107A=10^{7}

Question 2

B=104×103×106B=10^{4} \times 10^{-3}\times 10^{6}

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10ab\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
  • (xy)a=xaya\left(\frac{x}{y} \right)^{a} =\frac{x^{a} }{y^{a} }
  • (xy)a=xa×ya\left(xy\right)^{a} =x^{a} \times y^{a}
B=104×103×106B=10^{4} \times 10^{-3}\times 10^{6} équivaut successivement à :
B=104+(3)+6B=10^{4+\left(-3\right)+6}
B=1043+6B=10^{4-3+6}
B=107B=10^{7}
Question 3

C=105×108104C=\frac{10^{5} \times 10^{8} }{10^{4} }

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10ab\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
  • (xy)a=xaya\left(\frac{x}{y} \right)^{a} =\frac{x^{a} }{y^{a} }
  • (xy)a=xa×ya\left(xy\right)^{a} =x^{a} \times y^{a}
C=105×108104C=\frac{10^{5} \times 10^{8} }{10^{4} } équivaut successivement à :
C=105+8104C=\frac{10^{5+8} }{10^{4} }
C=1013104C=\frac{10^{13} }{10^{4} }
C=10134C=10^{13-4}
C=109C=10^{9}

Question 4

D=(102)3×101(102×105)2D=\frac{\left(10^{2} \right)^{3} \times 10^{-1} }{\left(10^{2} \times 10^{5} \right)^{2} }

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10ab\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
D=(102)3×101(102×105)2D=\frac{\left(10^{2} \right)^{3} \times 10^{-1} }{\left(10^{2} \times 10^{5} \right)^{2} } équivaut successivement à :
D=102×3×101(102+5)2D=\frac{10^{2\times 3} \times 10^{-1} }{\left(10^{2+5} \right)^{2} }
D=106×101(107)2D=\frac{10^{6} \times 10^{-1} }{\left(10^{7} \right)^{2} }
D=106+(1)107×2D=\frac{10^{6+\left(-1\right)} }{10^{7\times 2} }
D=1051014D=\frac{10^{5} }{10^{14} }
D=10514D=10^{5-14}
D=109D=10^{-9}