Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées

Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des écritures fractionnaires - Exercice 1

15 min
25
Calculer les nombres suivants en les donnant sous la forme d’une fraction irréductible :
Question 1

A=73−53×92A=\frac{7}{3} -\frac{5}{3} \times \frac{9}{2}

Correction
A=73−53×92A=\frac{7}{3} -\frac{5}{3} \times \frac{9}{2} équivaut successivement à :
A=73−5×93×2A=\frac{7}{3} -\frac{5\times 9}{3\times 2}
A=73−456A=\frac{7}{3} -\frac{45}{6}
A=7×23×2−456A=\frac{7\times 2}{3\times 2} -\frac{45}{6}
A=146−456A=\frac{14}{6} -\frac{45}{6}
A=14−456A=\frac{14-45}{6}
Ainsi :
A=−316A=-\frac{31}{6}

Question 2

B=45−15×(2−43)B=\frac{4}{5} -\frac{1}{5} \times \left(2-\frac{4}{3} \right)

Correction
B=45−15×(2−43)B=\frac{4}{5} -\frac{1}{5} \times \left(2-\frac{4}{3} \right) équivaut successivement à :
B=45−15×(21−43)B=\frac{4}{5} -\frac{1}{5} \times \left(\frac{2}{1} -\frac{4}{3} \right)
B=45−15×(2×31×3−43)B=\frac{4}{5} -\frac{1}{5} \times \left(\frac{2\times 3}{1\times 3} -\frac{4}{3} \right)
B=45−15×(63−43)B=\frac{4}{5} -\frac{1}{5} \times \left(\frac{6}{3} -\frac{4}{3} \right)
B=45−15×23B=\frac{4}{5} -\frac{1}{5} \times \frac{2}{3}
B=45−1×25×3B=\frac{4}{5} -\frac{1\times 2}{5\times 3}
B=45−215B=\frac{4}{5} -\frac{2}{15}
B=4×35×3−215B=\frac{4\times 3}{5\times 3} -\frac{2}{15}
B=1215−215B=\frac{12}{15} -\frac{2}{15}
B=12−215B=\frac{12-2}{15}
B=1015B=\frac{10}{15}
B=2×53×5B=\frac{2\times 5}{3\times 5}
B=2×53×5B=\frac{2\times \cancel{ \color{blue}5}}{3\times \cancel{ \color{blue}5}}
Ainsi :
B=23B=\frac{2}{3}

Question 3

C=12÷35−15C=\frac{1}{2} \div \frac{3}{5} -\frac{1}{5}

Correction
    Pour  diviser  2  fractions :‾\small\color{red}\underline{\text{{Pour\;diviser\;2\;fractions :}}}
  • On  multiplie‾  la  premieˋre  fraction  par  l’inverse‾  de  la  deuxieˋme.\small\text{\color{black}On\;{\color{red}\underline{multiplie}}\;la\;première\;fraction\;par\;{\color{red}\underline{l'inverse}}\;de\;la\;deuxième.}
  • AB÷CD=AB×DC\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} =\frac{A}{B} \times \frac{D}{C}
C=12÷35−15C=\frac{1}{2} \div \frac{3}{5} -\frac{1}{5} équivaut successivement à :
C=12×53−15C=\frac{1}{2} \times \frac{5}{3} -\frac{1}{5}
C=1×52×3−15C=\frac{1\times 5}{2\times 3} -\frac{1}{5}
C=56−15C=\frac{5}{6} -\frac{1}{5}
C=5×56×5−1×65×6C=\frac{5\times 5}{6\times 5} -\frac{1\times 6}{5\times 6}
C=2530−630C=\frac{25}{30} -\frac{6}{30}
C=25−630C=\frac{25-6}{30}
Ainsi :
C=1930C=\frac{19}{30}

Question 4

D=23+538D=\frac{2}{3} +\frac{5}{\frac{3}{8} }

Correction
D=23+538D=\frac{2}{3} +\frac{5}{\frac{3}{8} }
  • ABC=A÷BC\frac{A}{\frac{B}{C} } =A\div \frac{B}{C}
D=23+5÷38D=\frac{2}{3} +5\div \frac{3}{8}
    Pour  diviser  2  fractions :‾\small\color{red}\underline{\text{{Pour\;diviser\;2\;fractions :}}}
  • On  multiplie‾  la  premieˋre  fraction  par  l’inverse‾  de  la  deuxieˋme.\small\text{\color{black}On\;{\color{red}\underline{multiplie}}\;la\;première\;fraction\;par\;{\color{red}\underline{l'inverse}}\;de\;la\;deuxième.}
  • AB÷CD=AB×DC\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} =\frac{A}{B} \times \frac{D}{C}
D=23+5×83D=\frac{2}{3} +5\times \frac{8}{3}
D=23+51×83D=\frac{2}{3} +\frac{5}{1} \times \frac{8}{3}
D=23+403D=\frac{2}{3} +\frac{40}{3}
D=423D=\frac{42}{3}
Ainsi :
D=14D=14

Question 5

E=13−34×12+76E=\frac{1}{3} -\frac{3}{4} \times 12+\frac{7}{6}

Correction
E=13−34×12+76E=\frac{1}{3} -\frac{3}{4} \times 12+\frac{7}{6} équivaut successivement à :
E=13−34×121+76E=\frac{1}{3} -\frac{3}{4} \times \frac{12}{1} +\frac{7}{6}
E=13−34×4×31+76E=\frac{1}{3} -\frac{3}{4} \times \frac{4\times 3}{1} +\frac{7}{6}
E=13−34×4×31+76E=\frac{1}{3} -\frac{3}{\cancel{ \color{blue}4}} \times \frac{\cancel{ \color{blue}4}\times 3}{1} +\frac{7}{6}
E=13−31×31+76E=\frac{1}{3} -\frac{3}{1} \times \frac{3}{1} +\frac{7}{6}
E=13−91+76E=\frac{1}{3} -\frac{9}{1} +\frac{7}{6}
E=1×23×2−9×61×6+76E=\frac{1\times 2}{3\times 2} -\frac{9\times 6}{1\times 6} +\frac{7}{6}
E=26−546+76E=\frac{2}{6} -\frac{54}{6} +\frac{7}{6}
E=−456E=-\frac{45}{6}
E=−15×32×3E=-\frac{15\times\cancel{ \color{blue}3}}{2\times\cancel{ \color{blue}3}}
Ainsi :
E=−152E=-\frac{15}{2}