Rendre rationnel le dénominateur des expressions ayant des racines carrées au dénominateur - Exercice 1

Soit $$A=\frac{1}{5+\sqrt{3} }$$ . Le dénominateur est $$5+\sqrt{3}$$ . La quantité conjuguée du dénominateur $$5+\sqrt{3}$$ vaut $$5-\sqrt{3}$$ .
Nous allons donc multiplier le numérateur et le dénominateur par $$5-\sqrt{3}$$ .
$$A=\frac{1\times \left(5-\sqrt{3} \right)}{\left({\color{blue}5}+{\color{red}\sqrt{3}} \right)\times \left({\color{blue}5}-{\color{red}\sqrt{3}} \right)}$$ . Maintenant au dénominateur, on reconnait l'identité remarquable $$\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}$$
$$A=\frac{5-\sqrt{3} }{{\color{blue}5}^{2} -\left({\color{red}\sqrt{3}} \right)^{2} }$$
$$A=\frac{5-\sqrt{3} }{25-3}$$

Soit $$B=\frac{2}{4-\sqrt{2} }$$ . Le dénominateur est $$4-\sqrt{2}$$ . La quantité conjuguée du dénominateur $$4-\sqrt{2}$$ vaut $$4+\sqrt{2}$$ .
Nous allons donc multiplier le numérateur et le dénominateur par $$4+\sqrt{2}$$ .
$$B=\frac{2\times \left(4+\sqrt{2} \right)}{\left({\color{blue}4}-{\color{red}\sqrt{2}} \right)\times \left({\color{blue}4}+{\color{red}\sqrt{2}} \right)}$$ . Maintenant au dénominateur, on reconnait l'identité remarquable $$\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}$$
$$B=\frac{2\times 4+2\times \sqrt{2}}{{\color{blue}4}^{2} -\left({\color{red}\sqrt{2}} \right)^{2} }$$
$$B=\frac{8+2\sqrt{2} }{16-2}$$
Ici, nous pouvons simplifier par factoriser par $$2$$ le numérateur et le dénominateur pour rendre irréductible la fraction .
Ce qui nous donne :

Soit $$C=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6} -1}$$ . Le dénominateur est $$\sqrt{6} -1$$ . La quantité conjuguée du dénominateur $$\sqrt{6} -1$$ vaut $$\sqrt{6} +1$$ .
Nous allons donc multiplier le numérateur et le dénominateur par $$\sqrt{6} +1$$ .
$$C=\frac{\sqrt{3}\times \left(\sqrt{6} +1 \right)}{\left({\color{blue}\sqrt{6}}-{\color{red}1} \right)\times \left({\color{blue}\sqrt{6}}+{\color{red}1} \right)}$$ . Maintenant au dénominateur, on reconnait l'identité remarquable $$\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}$$
$$C=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{6} +\sqrt{3} \times 1}{\left({\color{blue}\sqrt{6}}\right)^{2} -{\color{red}1}^{2} }$$
$$C=\frac{\sqrt{18} +\sqrt{3} }{6-1}$$
$$C=\frac{\sqrt{9\times 2} +\sqrt{3} }{5}$$
$$C=\frac{\sqrt{9} \times \sqrt{2} +\sqrt{3} }{5}$$
$$C=\frac{\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{2} +\sqrt{3} }{5}$$
$$C=\frac{3\times \sqrt{2} +\sqrt{3} }{5}$$