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Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées

Rendre rationnel le dénominateur des expressions ayant des racines carrées au dénominateur - Exercice 1

10 min
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Question 1
Rendre rationnel le dénominateur des expressions suivantes :

A=15+3A=\frac{1}{5+\sqrt{3} }

Correction
  • Rendre rationnel un dénominateur signifie que l'on veut écrire le dénominateur sans racines carrées. Pour se faire, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.
Soit A=15+3A=\frac{1}{5+\sqrt{3} } . Le dénominateur est 5+35+\sqrt{3} . La quantité conjuguée du dénominateur 5+35+\sqrt{3} vaut 535-\sqrt{3} .
Nous allons donc multiplier le numérateur et le dénominateur par 535-\sqrt{3} .
A=1×(53)(5+3)×(53)A=\frac{1\times \left(5-\sqrt{3} \right)}{\left({\color{blue}5}+{\color{red}\sqrt{3}} \right)\times \left({\color{blue}5}-{\color{red}\sqrt{3}} \right)} . Maintenant au dénominateur, on reconnait l'identité remarquable (a+b)(ab)=a2b2\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
A=5352(3)2A=\frac{5-\sqrt{3} }{{\color{blue}5}^{2} -\left({\color{red}\sqrt{3}} \right)^{2} }
A=53253A=\frac{5-\sqrt{3} }{25-3}
A=5322A=\frac{5-\sqrt{3} }{22}
Question 2

B=242B=\frac{2}{4-\sqrt{2} }

Correction
  • Rendre rationnel un dénominateur signifie que l'on veut écrire le dénominateur sans racines carrées. Pour se faire, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.
Soit B=242B=\frac{2}{4-\sqrt{2} } . Le dénominateur est 424-\sqrt{2} . La quantité conjuguée du dénominateur 424-\sqrt{2} vaut 4+24+\sqrt{2} .
Nous allons donc multiplier le numérateur et le dénominateur par 4+24+\sqrt{2} .
B=2×(4+2)(42)×(4+2)B=\frac{2\times \left(4+\sqrt{2} \right)}{\left({\color{blue}4}-{\color{red}\sqrt{2}} \right)\times \left({\color{blue}4}+{\color{red}\sqrt{2}} \right)} . Maintenant au dénominateur, on reconnait l'identité remarquable (ab)(a+b)=a2b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
B=2×4+2×242(2)2B=\frac{2\times 4+2\times \sqrt{2}}{{\color{blue}4}^{2} -\left({\color{red}\sqrt{2}} \right)^{2} }
B=8+22162B=\frac{8+2\sqrt{2} }{16-2}
B=8+2214B=\frac{8+2\sqrt{2} }{14}
Ici, nous pouvons simplifier par factoriser par 22 le numérateur et le dénominateur pour rendre irréductible la fraction .
Ce qui nous donne :
B=4+27B=\frac{4+\sqrt{2} }{7}
Question 3

C=361C=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6} -1}

Correction
  • Rendre rationnel un dénominateur signifie que l'on veut écrire le dénominateur sans racines carrées. Pour se faire, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.
Soit C=361C=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6} -1} . Le dénominateur est 61\sqrt{6} -1 . La quantité conjuguée du dénominateur 61\sqrt{6} -1 vaut 6+1\sqrt{6} +1 .
Nous allons donc multiplier le numérateur et le dénominateur par 6+1\sqrt{6} +1 .
C=3×(6+1)(61)×(6+1)C=\frac{\sqrt{3}\times \left(\sqrt{6} +1 \right)}{\left({\color{blue}\sqrt{6}}-{\color{red}1} \right)\times \left({\color{blue}\sqrt{6}}+{\color{red}1} \right)} . Maintenant au dénominateur, on reconnait l'identité remarquable (ab)(a+b)=a2b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
C=3×6+3×1(6)212C=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{6} +\sqrt{3} \times 1}{\left({\color{blue}\sqrt{6}}\right)^{2} -{\color{red}1}^{2} }
C=18+361C=\frac{\sqrt{18} +\sqrt{3} }{6-1}
C=9×2+35C=\frac{\sqrt{9\times 2} +\sqrt{3} }{5}
C=9×2+35C=\frac{\sqrt{9} \times \sqrt{2} +\sqrt{3} }{5}
C=32×2+35C=\frac{\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{2} +\sqrt{3} }{5}
    Soit aa un réel positif .
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
C=3×2+35C=\frac{3\times \sqrt{2} +\sqrt{3} }{5}
C=32+35C=\frac{3\sqrt{2} +\sqrt{3} }{5}