Exercices types : 4e partie : problèmes - Exercice 3

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Problème : plier une feuille de papier
Une feuille de papier a une épaisseur de 0,10{,}1 mm. Chaque fois qu'on la plie en deux, son épaisseur double.
Question 1

Exprimer en mètres l'épaisseur ene_{n} obtenue après nn pliages, à l'aide de puissances.

Correction
0,10{,}1 mm =10−1=10^{-1} mm =10−1×10−3=10^{-1}\times 10^{-3} m =10−4=10^{-4} m.
Chaque pliage multiplie l'épaisseur par 22 :
en=10−4×2ne_{n}=10^{-4}\times 2^{n} m
Question 2

Calculer l'épaisseur obtenue après 1010 pliages. Donner le résultat en centimètres.

Correction
e10=10−4×210e_{10}=10^{-4}\times 2^{10} équivaut successivement à :
e10=10−4×1  024e_{10}=10^{-4}\times 1\;024
e10=0,1024e_{10}=0{,}1024 m
e10=10,24e_{10}=10{,}24 cm
Question 3

La distance de la Terre à la Lune est d'environ 3,84×1083{,}84\times 10^{8} m. Montrer que l'épaisseur dépasse cette distance lorsque 2n>3,84×10122^{n}\gt 3{,}84\times 10^{12}.

Correction
en>3,84×108e_{n}\gt 3{,}84\times 10^{8} équivaut successivement à :
10−4×2n>3,84×10810^{-4}\times 2^{n}\gt 3{,}84\times 10^{8}
On multiplie les deux membres par 10410^{4}, qui est positif :
2n>3,84×108×1042^{n}\gt 3{,}84\times 10^{8}\times 10^{4}
2n>3,84×10122^{n}\gt 3{,}84\times 10^{12}
Question 4

L'appel premiere_puissance(2, 3.84e12) de la fiche « Algorithme : déterminer la première puissance qui dépasse une valeur » renvoie 4242. Vérifier ce résultat à la calculatrice, puis conclure.

Correction
241≈2,20×10122^{41}\approx 2{,}20\times 10^{12}, donc 241≤3,84×10122^{41}\leq 3{,}84\times 10^{12} ; 242≈4,40×10122^{42}\approx 4{,}40\times 10^{12}, donc 242>3,84×10122^{42}\gt 3{,}84\times 10^{12}.
Il faudrait 4242 pliages.

En pratique, on ne peut pas plier une feuille plus de 77 ou 88 fois : ce calcul montre surtout la croissance très rapide des puissances de 22.

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