Exercices types : 4e partie : problèmes - Exercice 1

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ABCDABCD est un rectangle tel que AB=23+1AB=2\sqrt{3}+1 cm et BC=23−1BC=2\sqrt{3}-1 cm.
Question 1

Calculer le périmètre P\mathcal{P} du rectangle ABCDABCD.

Correction
P=2×(AB+BC)\mathcal{P}=2\times\left(AB+BC\right) équivaut successivement à :
P=2×(23+1+23−1)\mathcal{P}=2\times\left(2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}-1\right)
P=2×43\mathcal{P}=2\times 4\sqrt{3}
P=83\mathcal{P}=8\sqrt{3} cm
Question 2

Calculer l'aire A\mathcal{A} du rectangle ABCDABCD.

Correction
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
  • (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}
A=AB×BC\mathcal{A}=AB\times BC équivaut successivement à :
A=(23+1)(23−1)\mathcal{A}=\left(2\sqrt{3}+1\right)\left(2\sqrt{3}-1\right)
A=(23)2−12\mathcal{A}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}
A=4×3−1\mathcal{A}=4\times 3-1
A=11\mathcal{A}=11 cm2^{2}
Question 3

Calculer la longueur de la diagonale ACAC.

Correction
  • Théorème de Pythagore : si un triangle ABCABC est rectangle en CC, alors AB2=AC2+BC2AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}.
Le triangle ABCABC est rectangle en BB. D'après le théorème de Pythagore : AC2=AB2+BC2AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}.
AB2=(23+1)2=12+43+1=13+43AB^{2}=\left(2\sqrt{3}+1\right)^{2}=12+4\sqrt{3}+1=13+4\sqrt{3}
BC2=(23−1)2=12−43+1=13−43BC^{2}=\left(2\sqrt{3}-1\right)^{2}=12-4\sqrt{3}+1=13-4\sqrt{3}
AC2=13+43+13−43AC^{2}=13+4\sqrt{3}+13-4\sqrt{3}
AC2=26AC^{2}=26
ACAC est une longueur, donc positive :
AC=26AC=\sqrt{26} cm
Question 4

Un carré a la même aire que le rectangle ABCDABCD. Lequel des deux a le plus grand périmètre ?

Correction
  • Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : si a≥0a\geq 0 et b≥0b\geq 0, alors a<ba\lt b équivaut à a2<b2a^{2}\lt b^{2}.
Le côté cc du carré vérifie c2=11c^{2}=11, donc c=11c=\sqrt{11} cm et le périmètre du carré vaut 4114\sqrt{11} cm.
On compare 838\sqrt{3} et 4114\sqrt{11}, deux nombres positifs, à l'aide de leurs carrés :
(83)2=64×3=192\left(8\sqrt{3}\right)^{2}=64\times 3=192 et (411)2=16×11=176\left(4\sqrt{11}\right)^{2}=16\times 11=176
192>176192\gt 176, donc 83>4118\sqrt{3}\gt 4\sqrt{11} :
le rectangle a le plus grand périmètre

(83≈13,868\sqrt{3}\approx 13{,}86 cm et 411≈13,274\sqrt{11}\approx 13{,}27 cm.) À aire égale, c'est le carré qui a le plus petit périmètre.

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