Exercices types : 3e partie : des calculs plus difficiles - Exercice 4

15 min
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Approfondissement : le cube d'une somme
Question 1

Développer (a+b)3\left(a+b\right)^{3} en écrivant (a+b)3=(a+b)2(a+b)\left(a+b\right)^{3}=\left(a+b\right)^{2}\left(a+b\right).

Correction
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
  • (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}
(a+b)3=(a2+2ab+b2)(a+b)\left(a+b\right)^{3}=\left(a^{2}+2ab+b^{2}\right)\left(a+b\right) équivaut successivement à :
(a+b)3=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+a^{2}b+2a^{2}b+2ab^{2}+ab^{2}+b^{3}
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}
Question 2

En déduire la forme développée et réduite de (1+2)3\left(1+\sqrt{2}\right)^{3}.

Correction
On applique la formule avec a=1a=1 et b=2b=\sqrt{2} :
(1+2)3=13+3×12×2+3×1×(2)2+(2)3\left(1+\sqrt{2}\right)^{3}=1^{3}+3\times 1^{2}\times\sqrt{2}+3\times 1\times\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{3}
Or (2)3=(2)2×2=22\left(\sqrt{2}\right)^{3}=\left(\sqrt{2}\right)^{2}\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}, donc :
(1+2)3=1+32+6+22\left(1+\sqrt{2}\right)^{3}=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}
(1+2)3=7+52\left(1+\sqrt{2}\right)^{3}=7+5\sqrt{2}
Question 3

En remplaçant bb par −b-b, développer (a−b)3\left(a-b\right)^{3}, puis (3−1)3\left(\sqrt{3}-1\right)^{3}.

Correction
(a−b)3=a3+3a2(−b)+3a(−b)2+(−b)3\left(a-b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}\left(-b\right)+3a\left(-b\right)^{2}+\left(-b\right)^{3}
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

Avec a=3a=\sqrt{3} et b=1b=1, sachant que (3)3=33\left(\sqrt{3}\right)^{3}=3\sqrt{3} :
(3−1)3=(3)3−3×(3)2×1+3×3×12−13\left(\sqrt{3}-1\right)^{3}=\left(\sqrt{3}\right)^{3}-3\times\left(\sqrt{3}\right)^{2}\times 1+3\times\sqrt{3}\times 1^{2}-1^{3}
(3−1)3=33−9+33−1\left(\sqrt{3}-1\right)^{3}=3\sqrt{3}-9+3\sqrt{3}-1
(3−1)3=63−10\left(\sqrt{3}-1\right)^{3}=6\sqrt{3}-10

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