Exercices types : 3e partie : des calculs plus difficiles - Exercice 3

15 min
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Deux inégalités classiques
Dans tout l'exercice, aa et bb désignent deux réels strictement positifs.
Question 1

Développer (a+b)2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}.

Correction
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
  • (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}
(a+b)2=(a)2+2ab+(b)2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^{2}
(a+b)2=a+b+2ab\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}=a+b+2\sqrt{ab}
Question 2

En déduire que a+b<a+b\sqrt{a+b}\lt\sqrt{a}+\sqrt{b}.

Correction
  • Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : si a≥0a\geq 0 et b≥0b\geq 0, alors a<ba\lt b équivaut à a2<b2a^{2}\lt b^{2}.
(a+b)2=a+b\left(\sqrt{a+b}\right)^{2}=a+b et, d'après la question 1, (a+b)2=a+b+2ab\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}=a+b+2\sqrt{ab}.
Comme 2ab>02\sqrt{ab}\gt 0, on a a+b<a+b+2aba+b\lt a+b+2\sqrt{ab}, c'est-à-dire (a+b)2<(a+b)2\left(\sqrt{a+b}\right)^{2}\lt\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}.
Les nombres a+b\sqrt{a+b} et a+b\sqrt{a}+\sqrt{b} sont positifs : ils sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
a+b<a+b\sqrt{a+b}\lt\sqrt{a}+\sqrt{b}
Question 3

On considère un triangle ABCABC rectangle en CC tel que AC=aAC=\sqrt{a} et BC=bBC=\sqrt{b}. Calculer ABAB, puis retrouver le résultat de la question 2.

Correction
  • Théorème de Pythagore : si un triangle ABCABC est rectangle en CC, alors AB2=AC2+BC2AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABCABC rectangle en CC :
AB2=AC2+BC2AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}
AB2=(a)2+(b)2AB^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}+\left(\sqrt{b}\right)^{2}
AB2=a+bAB^{2}=a+b
ABAB est une longueur, donc positive :
AB=a+bAB=\sqrt{a+b}

Pour aller de AA à BB, le chemin direct (l'hypoténuse, en rouge) est plus court que le chemin qui passe par CC : AB<AC+CBAB\lt AC+CB, c'est-à-dire a+b<a+b\sqrt{a+b}\lt\sqrt{a}+\sqrt{b}.
Question 4

Développer (a−b)2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^{2}, puis en déduire que ab≤a+b2\sqrt{ab}\leq\dfrac{a+b}{2}.

Correction
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
  • (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}
(a−b)2=(a)2−2ab+(b)2=a+b−2ab\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a+b-2\sqrt{ab}
Un carré est toujours positif ou nul, donc :
a+b−2ab≥0a+b-2\sqrt{ab}\geq 0
a+b≥2aba+b\geq 2\sqrt{ab}
On divise les deux membres par 22, qui est positif :
ab≤a+b2\sqrt{ab}\leq\dfrac{a+b}{2}

Le nombre ab\sqrt{ab} s'appelle la moyenne géométrique de aa et de bb, et a+b2\dfrac{a+b}{2} leur moyenne arithmétique.
Question 5

Vérifier ces deux inégalités pour a=4a=4 et b=9b=9.

Correction
4+9=13≈3,61\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\approx 3{,}61 et 4+9=2+3=5\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5 : on a bien 13<5\sqrt{13}\lt 5.
4×9=36=6\sqrt{4\times 9}=\sqrt{36}=6 et 4+92=6,5\dfrac{4+9}{2}=6{,}5 : on a bien 6≤6,56\leq 6{,}5.

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