Exercices types : 3e partie : des calculs plus difficiles - Exercice 2

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Le nombre d'or
On note φ=1+52\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} (on lit « phi »). Un rectangle dont la longueur est égale à φ\varphi fois sa largeur s'appelle un rectangle d'or.
Question 1

Montrer que φ2=φ+1\varphi^{2}=\varphi+1.

Correction
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
  • (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}
Calcul de φ2\red{\text{Calcul de }\varphi^{2}} :
φ2=(1+5)222\varphi^{2}=\dfrac{\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}}{2^{2}}
φ2=1+25+54\varphi^{2}=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}
φ2=6+254\varphi^{2}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}
φ2=2(3+5)4=3+52\varphi^{2}=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}
Calcul de φ+1\red{\text{Calcul de }\varphi+1} :
φ+1=1+52+22=3+52\varphi+1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}
φ2=φ+1\varphi^{2}=\varphi+1
Question 2

Montrer que 1φ=φ−1\dfrac{1}{\varphi}=\varphi-1.

Correction
  • La quantité conjuguée de 5+1\sqrt{5}+1 est 5−1\sqrt{5}-1, et (5+1)(5−1)=5−1=4\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)=5-1=4.
1φ=21+5\dfrac{1}{\varphi}=\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}. On multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée 5−1\sqrt{5}-1 :
1φ=2(5−1)(5+1)(5−1)\dfrac{1}{\varphi}=\dfrac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}
1φ=2(5−1)4\dfrac{1}{\varphi}=\dfrac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{4}
1φ=5−12\dfrac{1}{\varphi}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
Or φ−1=1+52−22=5−12\varphi-1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{2}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.
1φ=φ−1\dfrac{1}{\varphi}=\varphi-1

Autre méthode : on divise par φ\varphi les deux membres de l'égalité φ2=φ+1\varphi^{2}=\varphi+1, ce qui donne φ=1+1φ\varphi=1+\dfrac{1}{\varphi}.
Question 3

En déduire que φ3=2φ+1\varphi^{3}=2\varphi+1, puis donner la valeur exacte de φ3\varphi^{3}.

Correction
φ3=φ×φ2\varphi^{3}=\varphi\times\varphi^{2} équivaut successivement à :
φ3=φ×(φ+1)\varphi^{3}=\varphi\times\left(\varphi+1\right) d'après la question 1
φ3=φ2+φ\varphi^{3}=\varphi^{2}+\varphi
φ3=φ+1+φ\varphi^{3}=\varphi+1+\varphi
φ3=2φ+1\varphi^{3}=2\varphi+1

Donc φ3=2×1+52+1=1+5+1\varphi^{3}=2\times\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1=1+\sqrt{5}+1 :
φ3=2+5\varphi^{3}=2+\sqrt{5}
Question 4

Sur la figure, on retire du rectangle d'or un carré de côté 11. Montrer que le rectangle restant est encore un rectangle d'or.

Correction
Le rectangle restant a pour dimensions 11 et φ−1\varphi-1. Comme φ≈1,618\varphi\approx 1{,}618, on a φ−1≈0,618<1\varphi-1\approx 0{,}618\lt 1 : sa longueur est 11 et sa largeur est φ−1\varphi-1.
longueurlargeur=1φ−1\dfrac{\text{longueur}}{\text{largeur}}=\dfrac{1}{\varphi-1} équivaut successivement à :
longueurlargeur=11φ\dfrac{\text{longueur}}{\text{largeur}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\varphi}} d'après la question 2
longueurlargeur=φ\dfrac{\text{longueur}}{\text{largeur}}=\varphi
Le rectangle restant est un rectangle d'or.

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