Exercices types : 2<sup>e</sup> partie : avec les puissances - Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées - Seconde

Question 1

Calculer $J=\left(2^{-1}+2^{-2}\right)^{-1}$ .

Correction

x

a

b

$x^{a} \times x^{b} =x^{a+b}$
$\dfrac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}$
$x^{-a} =\dfrac{1}{x^{a} }$ , en particulier $x^{-1} =\dfrac{1}{x}$ est l'inverse de $x$ .
L'inverse de $\dfrac{p}{q}$ est $\dfrac{q}{p}$ (avec $p\neq 0$ et $q\neq 0$ ).

J=\left(2^{-1}+2^{-2}\right)^{-1}

équivaut successivement à :

J=\left(\dfrac{1}{2^{1}}+\dfrac{1}{2^{2}}\right)^{-1}

car

x^{-a} =\dfrac{1}{x^{a} }

J=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)^{-1}

J=\left(\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}\right)^{-1}

(on met au même dénominateur)

J=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}

J

est donc l'inverse de

\dfrac{3}{4}

:

J=\dfrac{4}{3}

Question 2

Correction

x

a

b

$x^{a} \times x^{b} =x^{a+b}$
$\dfrac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}$
$x^{-a} =\dfrac{1}{x^{a} }$ , en particulier $x^{-1} =\dfrac{1}{x}$ est l'inverse de $x$ .
L'inverse de $\dfrac{p}{q}$ est $\dfrac{q}{p}$ (avec $p\neq 0$ et $q\neq 0$ ).

2^{10}+2^{10}

équivaut successivement à :

2^{10}+2^{10}=2\times 2^{10}

(on ajoute deux fois le même nombre)

2^{10}+2^{10}=2^{1}\times 2^{10}

2^{10}+2^{10}=2^{1+10}

car

x^{a} \times x^{b} =x^{a+b}

2^{10}+2^{10}=2^{11}

Question 3

Correction

x

a

b

$x^{a} \times x^{b} =x^{a+b}$
$\dfrac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}$
$x^{-a} =\dfrac{1}{x^{a} }$ , en particulier $x^{-1} =\dfrac{1}{x}$ est l'inverse de $x$ .
L'inverse de $\dfrac{p}{q}$ est $\dfrac{q}{p}$ (avec $p\neq 0$ et $q\neq 0$ ).

{\color{blue}\text{Simplification de }H}

:

H=\dfrac{2^{n+1}+2^{n}}{2^{n}}

équivaut successivement à :

H=\dfrac{2^{n}\times 2^{1}+2^{n}}{2^{n}}

car

2^{n+1}=2^{n}\times 2^{1}

H=\dfrac{2^{n}\times 2+2^{n}\times 1}{2^{n}}

H=\dfrac{2^{n}\times \left(2+1\right)}{2^{n}}

(on factorise par

2^{n}

)

H=\dfrac{2^{n}\times 3}{2^{n}}

H=3\times \dfrac{2^{n}}{2^{n}}

et

\dfrac{2^{n}}{2^{n}}=1

H=3

{\color{blue}\text{Montrons que }3^{n+2}-3^{n}=8\times 3^{n}}

:

3^{n+2}-3^{n}

équivaut successivement à :

3^{n+2}-3^{n}=3^{n}\times 3^{2}-3^{n}

car

x^{a+b}=x^{a} \times x^{b}

3^{n+2}-3^{n}=3^{n}\times 9-3^{n}\times 1

3^{n+2}-3^{n}=3^{n}\times \left(9-1\right)

(on factorise par

3^{n}

)

3^{n+2}-3^{n}=3^{n}\times 8

3^{n+2}-3^{n}=8\times 3^{n}