Exercices types : 2e partie : avec les puissances - Exercice 2

5 min
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Question 1

Prouver par les calculs que 0,000  250,000\;25 est l'écriture décimale du nombre: A=65×103×10−526×102A=\dfrac{65\times10^3\times10^{-5}}{26\times10^{2}}

Correction
A=65×103×10−526×102A=\dfrac{65\times10^3\times10^{-5}}{26\times10^{2}}
A=6526×103×10−5102A=\dfrac{65}{26}\times\dfrac{10^3\times10^{-5}}{10^{2}}
A=2,5×103+(−5)102A=2,5\times\dfrac{10^{3+(-5)}}{10^{2}}
A=2,5×103−5102A=2,5\times\dfrac{10^{3-5}}{10^{2}}
A=2,5×10−2102A=2,5\times\dfrac{10^{-2}}{10^{2}}
A=2,5×10−2−2A=2,5\times10^{-2-2}
A=2,5×10−4A=2,5\times10^{-4}
A=0,000  25\color{blue}\boxed{A=0,000\;25}

Question 2

Donner l'écriture scientifique du nombre AA.

Correction
D'après la question 11, A=0,000  25A=0{,}000\;25.
  • Un  nombre  deˊcimal  positif‾{\color{black}\underline{Un\;nombre\;décimal\;positif}} est écrit en notation scientifique lorsqu’il est sous la forme : a×10n{\color{red}\boxed{a\times10^n}}.
  • Un  nombre  deˊcimal  neˊgatif‾{\color{black}\underline{Un\;nombre\;décimal\;négatif}} est écrit en notation scientifique lorsqu’il est sous la forme : −a×10n{\color{red}\boxed{-a\times10^n}}.
  • Dans les écritures ci-dessus, le  nombre  a  est  compris  entre  1  (inclus)  et  10  (exclu).{\color{red}le\;nombre\;a\;est\;compris\;entre\;1\;(inclus)\;et\;10\;(exclu).}
  • nn est un entier relatif. (C'est-à-dire un nombre entier  positif  ou  neˊgatif).\bf{entier\;positif\;ou\;négatif).}
0,000  25=0,000  25×1000{,}000\;25=0{,}000\;25\times10^0
0,000  25×100\color{blue}0{,}000\;25\times10^0  \;n'est pas en écriture scientifique, donc dans un premier temps :
  • On doit décaler la virgule afin d'obtenir un nombre décimal pour qu'il soit compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu).

    • Décaler une virgule de n\color{red}n rangs vers la gauche d'un nombre décimal, revient à ajouter n\color{red}n à l'exposant de 10\color{red}10.
      Exemple :{\color{blue}\text{Exemple :}}         \;\;\;\;7  2567\;256 n'est pas en écriture scientifique.
      7  2567\;256 peut aussi s'écrire 7  256×1007\;256\times{10^0}      \;\;\; ⟹\color{red}\Longrightarrow       \;\;\;en effet, par convention, 100=1\color{red}\boxed{10^0=1}.
      Ici on doit décaler la virgule de 33 rangs vers la gauche, donc on ajoute 33 à l'exposant de 1010.
      On obtient donc : 7,256×100+3=7,256×103.\color{blue}7{,}256\times{10^{0+3}}=7{,}256\times{10^{3}}.
    • Décaler une virgule de n\color{red}n rangs vers la droite d'un nombre décimal, revient à soustraire n\color{red}n à l'exposant de 10\color{red}10.

    Ici on décale la virgule de 4 rangs vers la droite\text{\color{red}de 4 rangs vers la droite}, donc on soustrait 44 à l'exposant de 1010.
            \;\;\;\;0,000  25×100=\color{black}0{,}000\;25\times10^0=
            \;\;\;\;2,5×100−4=\color{black}2{,}5\times{10^{0-4}=}
            \;\;\;\;2,5×10−4\color{blue}2{,}5\times{10^{-4}} ⟹\color{blue}\Longrightarrow       \;\;\; qui est l'écriture scientifique.

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