Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées

Exercices types : 1 ère partie : avec les racines carrées - Exercice 5

15 min
30
Écrire sous la forme aba\sqrt{b} , où aa et bb sont deux entiers positifs, bb étant le plus petit possible, les nombres suivants :
Question 1

A=(43+2)2A= (4\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}

Correction
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
    • Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
  • (ab)2=a2×b2(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
A=(43+2)2A= (4\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2} équivaut successivement à :
A=(43)2+2×43×2+(2)2A= (4\sqrt{3})^{2}+2\times 4\sqrt{3}\times \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}
A=42×32+83×2+2A=4^{2}\times\sqrt{3}^{2}+8\sqrt{3\times 2}+2
A=16×3+86+2A=16\times3+8\sqrt{6}+2
A=48+86+2A=48+8\sqrt{6}+2
A=50+86A=50+8\sqrt{6}

Question 2

B=(27−53)2B= (2\sqrt{7}-5\sqrt{3})^{2}

Correction
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
    • Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
  • (ab)2=a2×b2(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
B=(27−53)2B= (2\sqrt{7}-5\sqrt{3})^{2} équivaut successivement à :
B=(27)2−2×27×53+(53)2B= (2\sqrt{7})^{2}-2\times 2\sqrt{7}\times 5\sqrt{3}+(5\sqrt{3})^{2}
B=22×72−2×2×57×3+52×32B=2^{2}\times\sqrt{7}^{2}-2\times2\times5\sqrt{7\times 3}+5^{2}\times\sqrt{3}^{2}
B=4×7−2021+25×3B=4\times7-20\sqrt{21}+25\times3
B=28−2021+75B=28-20\sqrt{21}+75
B=103−2021B=103-20\sqrt{21}

Question 3

C=(75−43)2C= (7\sqrt{5}-4\sqrt{3})^{2}

Correction
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
    • Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
  • (ab)2=a2×b2(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
C=(75−43)2C= (7\sqrt{5}-4\sqrt{3})^{2} équivaut successivement à :
C=(75)2−2×75×43+(43)2C= (7\sqrt{5})^{2}-2\times 7\sqrt{5}\times 4\sqrt{3}+(4\sqrt{3})^{2}
C=72×52−2×7×45×3+42×32C=7^{2}\times\sqrt{5}^{2}-2\times7\times4\sqrt{5\times 3}+4^{2}\times\sqrt{3}^{2}
C=49×5−5615+16×3C=49\times5-56\sqrt{15}+16\times3
C=245−5615+48C=245-56\sqrt{15}+48
C=293−5615C=293-56\sqrt{15}

Question 4

D=(52−37)(52+37)D= (5\sqrt{2}-3\sqrt{7})(5\sqrt{2}+3\sqrt{7})

Correction

  • (a−b)(a+b)=a2−b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
    • Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
  • (ab)2=a2×b2(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
D=(52−37)(52+37)D= (5\sqrt{2}-3\sqrt{7})(5\sqrt{2}+3\sqrt{7}) équivaut successivement à :
D=(52)2−(37)2D= (5\sqrt{2})^{2}-(3\sqrt{7})^{2}
D=52×22−32×72D=5^{2}\times\sqrt{2}^{2}-3^{2}\times\sqrt{7}^{2}
D=25×2−9×7D=25\times2-9\times7
D=50−63D=50-63
D=−13D=-13