Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées

Exercices types : 1 ère partie : avec les racines carrées - Exercice 4

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Écrire sous la forme aba\sqrt{b} , où aa et bb sont deux entiers positifs, bb étant le plus petit possible, les nombres suivants :
Question 1

A=(48)(8−7)A= (4\sqrt{8})(\sqrt{8}-7)

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
A=(48)(8−7)A= (4\sqrt{8})(\sqrt{8}-7) équivaut successivement à :
A=48×8+48×(−7)A=4\sqrt{8}\times \sqrt{8}+4\sqrt{8}\times (-7)
A=48×8−7×44×2A= 4\sqrt{8\times8} -7\times4\sqrt{4\times2}
A=482−284×2A=4\sqrt{8^{2}}-28\sqrt{4}\times \sqrt{2}
A=4×8−2822×2A=4 \times8-28\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{2}
A=32−28×22A=32-28\times 2 \sqrt{2}
A=32−562A=32-56\sqrt{2}

Question 2

B=(32−5)(62+5)B= (3\sqrt{2}-\sqrt{5})(6\sqrt{2}+\sqrt{5})

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
B=(32−5)(62+5)B= (3\sqrt{2}-\sqrt{5})(6\sqrt{2}+\sqrt{5}) équivaut successivement à :
B=32×62+32×5−5×62−5×5B=3\sqrt{2}\times 6\sqrt{2}+3\sqrt{2}\times \sqrt{5} -\sqrt{5}\times 6\sqrt{2}-\sqrt{5}\times \sqrt{5}
B=3×62×2+32×5−65×2−5×5B=3\times6\sqrt{2\times2} + 3\sqrt{2\times 5}-6\sqrt{5\times2} -\sqrt{5\times5}
B=1822+310−610−52B= 18\sqrt{2^{2}} +3{\color{red}\sqrt{10}} -6{\color{red}\sqrt{10}} -\sqrt{5^{2}}
B=18×2+(3−6)10−5B= 18\times2+(3-6){\color{red}\sqrt{10}}-5
B=36−310−5B=36-3\sqrt{10}-5
B=31−310B=31-3\sqrt{10}

Question 3

C=(3−25)(45+23)C=(\sqrt{3} -2\sqrt{5})( 4\sqrt{5}+2\sqrt{3})

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
C=(3−25)(45+23)C=(\sqrt{3} -2\sqrt{5})( 4\sqrt{5}+2\sqrt{3}) équivaut successivement à :
C=3×45+3×23−25×45−25×23C=\sqrt{3}\times4\sqrt{5}+\sqrt{3}\times 2\sqrt{3} -2\sqrt{5}\times 4\sqrt{5}-2\sqrt{5}\times 2\sqrt{3}
C=43×5+23×3−2×45×5−2×23×5C=4\sqrt{3\times5} + 2\sqrt{3\times 3}-2\times4\sqrt{5\times5} -2\times2\sqrt{3\times5}
C=415+232−852−415C= 4\sqrt{15} +2\sqrt{3^{2}} -8\sqrt{5^{2}} -4\sqrt{15}
C=2×3−8×5C= 2\times3-8\times5
C=6−40C= 6-40
C=−34C=-34

Question 4

D=(27−35)(45+37)D=(2\sqrt{7} -3\sqrt{5})( 4\sqrt{5}+3\sqrt{7})

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
D=(27−35)(45+37)D=(2\sqrt{7} -3\sqrt{5})( 4\sqrt{5}+3\sqrt{7}) équivaut successivement à :
D=27×45+27×37−35×45−35×37D=2\sqrt{7}\times4\sqrt{5}+2\sqrt{7}\times 3\sqrt{7} -3\sqrt{5}\times 4\sqrt{5}-3\sqrt{5}\times 3\sqrt{7}
D=2×47×5+2×37×7−3×45×5−3×35×7D=2\times4\sqrt{7\times5} + 2\times3\sqrt{7\times 7}-3\times4\sqrt{5\times5} -3\times3\sqrt{5\times7}
D=835+672−1252−935D= 8{\color{red}\sqrt{35}} +6\sqrt{7^{2}} -12\sqrt{5^{2}} -9{\color{red}\sqrt{35}}
D=(8−9)35+6×7−12×5D= (8-9){\color{red}\sqrt{35}}+6\times7-12\times5
D=−35+42−60D= -\sqrt{35}+42-60
D=−18−35D=-18-\sqrt{35}