Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées

Exercices types : 1 ère partie : avec les racines carrées - Exercice 3

12 min
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Écrire sous la forme aba\sqrt{b} , où aa et bb sont deux entiers positifs, bb étant le plus petit possible, les nombres suivants :
Question 1

A=48−550+62A=4\sqrt{8} -5\sqrt{50} +6\sqrt{2}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
A=48−550+62A=4\sqrt{8} -5\sqrt{50} +6\sqrt{2} équivaut successivement à :
A=44×2−525×2+62A=4\sqrt{4\times 2} -5\sqrt{25\times 2} +6\sqrt{2}
A=44×2−525×2+62A=4\sqrt{4} \times \sqrt{2} -5\sqrt{25} \times \sqrt{2} +6\sqrt{2}
A=422×2−552×2+62A=4\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{2} -5\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{2} +6\sqrt{2}
A=4×2×2−5×5×2+62A=4\times 2\times \sqrt{2} -5\times 5\times \sqrt{2} +6\sqrt{2}
A=82−252+62A=8{\color{blue}\sqrt{2}} -25{\color{blue}\sqrt{2}} +6{\color{blue}\sqrt{2}} . Nous allons factoriser par 2{\color{blue}\sqrt{2}} .
A=(8−25+6)2A=\left(8-25+6\right)\sqrt{2}
A=−112A=-11\sqrt{2}

Question 2

B=628+4112−1163B=6\sqrt{28} +4\sqrt{112} -11\sqrt{63}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
B=628+4112−1163B=6\sqrt{28} +4\sqrt{112} -11\sqrt{63} équivaut successivement à :
B=64×7+416×7−119×7B=6\sqrt{4\times 7} +4\sqrt{16\times 7} -11\sqrt{9\times 7}
B=64×7+416×7−119×2B=6\sqrt{4} \times \sqrt{7} +4\sqrt{16} \times \sqrt{7} -11\sqrt{9}\times\sqrt{2}
B=622×7+442×7−1132×2B=6\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{7} +4\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{7} -11\sqrt{3^{2} }\times\sqrt{2}
B=6×2×7+4×4×7−11×3×7B=6\times 2\times \sqrt{7} +4\times 4\times \sqrt{7} -11\times 3\times \sqrt{7}
B=127+167−337B=12{\color{blue}\sqrt{7}} +16{\color{blue}\sqrt{7}} -33{\color{blue}\sqrt{7}} . Nous allons factoriser par 7{\color{blue}\sqrt{7}} .
B=(12+16−33)7B=\left(12+16-33\right)\sqrt{7}
B=−57B=-5\sqrt{7}

Question 3

C=−5135+760+3540C=-5\sqrt{135} +7\sqrt{60} +3\sqrt{540}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
C=−5135+760+3540C=-5\sqrt{135} +7\sqrt{60} +3\sqrt{540} équivaut successivement à :
C=−59×15+74×15+336×15C=-5\sqrt{9\times 15} +7\sqrt{4\times 15} +3\sqrt{36\times 15}
C=−59×15+74×15+336×15C=-5\sqrt{9} \times \sqrt{15} +7\sqrt{4} \times \sqrt{15} +3\sqrt{36}\times\sqrt{15}
C=−532×15+722×15+362×15C=-5\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{15} +7\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{15} +3\sqrt{6^{2} }\times\sqrt{15}
C=−5×3×15+7×2×15+3×6×15C=-5\times 3\times \sqrt{15} +7\times 2\times \sqrt{15} +3\times 6\times \sqrt{15}
C=−1515+1415+1815C=-15{\color{blue}\sqrt{15}} +14{\color{blue}\sqrt{15}} +18{\color{blue}\sqrt{15}} . Nous allons factoriser par 15{\color{blue}\sqrt{15}} .
C=(−15+14+18)15C=\left(-15+14+18\right)\sqrt{15}
C=1715C=17\sqrt{15}

Question 4

D=−3125+2320−745+125D=-3\sqrt{125} +2\sqrt{320} -7\sqrt{45}+12\sqrt{5}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
D=−3125+2320−745+125D=-3\sqrt{125} +2\sqrt{320} -7\sqrt{45}+12\sqrt{5} équivaut successivement à :
D=−325×5+264×5−79×5+125D=-3\sqrt{25\times 5} +2\sqrt{64\times 5} -7\sqrt{9\times 5}+12\sqrt{5}
D=−325×5+264×5−79×5+125D=-3\sqrt{25} \times \sqrt{5} +2\sqrt{64} \times \sqrt{5} -7\sqrt{9}\times\sqrt{5}+12\sqrt{5}
D=−352×5+282×5−732×5+125D=-3\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{5} +2\sqrt{8^{2} } \times \sqrt{5} -7\sqrt{3^{2} }\times\sqrt{5}+12\sqrt{5}
D=−3×5×5+2×8×5−7×3×5+125D=-3\times 5\times \sqrt{5} +2\times 8\times \sqrt{5} -7\times 3\times \sqrt{5} +12\sqrt{5}
D=−155+165−215+125D=-15{\color{blue}\sqrt{5}} +16{\color{blue}\sqrt{5}} -21{\color{blue}\sqrt{5}}+12{\color{blue}\sqrt{5}} . Nous allons factoriser par 5{\color{blue}\sqrt{5}} .
D=(−15+16−21+12)5D=\left(-15+16-21+12\right)\sqrt{5}
D=−85D=-8\sqrt{5}