Comparer deux nombres par la différence ou par le quotient - Exercice 4

10 min
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Problème
Deux colonies de bactéries comptent chacune 1  0001\;000 bactéries au départ. La colonie AA est multipliée par 1,51{,}5 toutes les heures ; la colonie BB est multipliée par 22 toutes les deux heures.
Question 1

Exprimer, à l'aide de puissances, le nombre de bactéries de chaque colonie au bout de 1010 heures.

Correction
En 1010 heures, la colonie AA est multipliée 1010 fois par 1,51{,}5 :
NA=1  000×1,510N_{A}=1\;000\times 1{,}5^{10}

En 1010 heures, il y a 55 périodes de deux heures : la colonie BB est multipliée 55 fois par 22 :
NB=1  000×25N_{B}=1\;000\times 2^{5}
Question 2

Sans calculatrice, déterminer la colonie la plus nombreuse au bout de 1010 heures.

Correction
  • Par la différence : si a−b>0a-b\gt 0 alors a>ba\gt b ; si a−b<0a-b\lt 0 alors a<ba\lt b.
  • Par le quotient, pour a>0a\gt 0 et b>0b\gt 0 : si ab>1\dfrac{a}{b}\gt 1 alors a>ba\gt b ; si ab<1\dfrac{a}{b}\lt 1 alors a<ba\lt b.
NANB=1  000×1,5101  000×25=1,51025\dfrac{N_{A}}{N_{B}}=\dfrac{1\;000\times 1{,}5^{10}}{1\;000\times 2^{5}}=\dfrac{1{,}5^{10}}{2^{5}}
Or 1,510=(1,52)5=2,2551{,}5^{10}=\left(1{,}5^{2}\right)^{5}=2{,}25^{5}, donc :
NANB=2,25525=(2,252)5=1,1255\dfrac{N_{A}}{N_{B}}=\dfrac{2{,}25^{5}}{2^{5}}=\left(\dfrac{2{,}25}{2}\right)^{5}=1{,}125^{5}
Or 1,125>11{,}125\gt 1, donc 1,1255>11{,}125^{5}\gt 1 :
la colonie AA est la plus nombreuse
Question 3

Vérifier à la calculatrice.

Correction
NA=1  000×1,510≈57  665N_{A}=1\;000\times 1{,}5^{10}\approx 57\;665 et NB=1  000×32=32  000N_{B}=1\;000\times 32=32\;000.
NA≈57  665>NB=32  000N_{A}\approx 57\;665\gt N_{B}=32\;000

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