Comparer deux nombres par la différence ou par le quotient - Exercice 3

15 min

Comparer les nombres suivants. Ils sont tous positifs.

Question 1

$3\sqrt{2}$ et $2\sqrt{3}$

Correction

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : si $a\geq 0$ et $b\geq 0$ , alors $a\lt b$ équivaut à $a^{2}\lt b^{2}$ .

\left(3\sqrt{2}\right)^{2}=3^{2}\times\left(\sqrt{2}\right)^{2}=9\times 2=18

\left(2\sqrt{3}\right)^{2}=2^{2}\times\left(\sqrt{3}\right)^{2}=4\times 3=12

18\gt 12

et les deux nombres sont positifs, donc :

3\sqrt{2}\gt 2\sqrt{3}

Question 2

Correction

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : si $a\geq 0$ et $b\geq 0$ , alors $a\lt b$ équivaut à $a^{2}\lt b^{2}$ .

\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^{2}=\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15}

\left(\sqrt{8}\right)^{2}=8

8+2\sqrt{15}\gt 8

, et les deux nombres sont positifs, donc :

\sqrt{3}+\sqrt{5}\gt\sqrt{8}

Ainsi

\sqrt{3+5}\lt\sqrt{3}+\sqrt{5}

: la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.

Question 3

Correction

$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}$
Deux nombres strictement positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire.

On utilise la quantité conjuguée :

\sqrt{7}-\sqrt{6}=\dfrac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\dfrac{7-6}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}

De même :

\sqrt{6}-\sqrt{5}=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}

\sqrt{7}\gt\sqrt{5}

, donc

\sqrt{7}+\sqrt{6}\gt\sqrt{6}+\sqrt{5}\gt 0

, et les inverses sont rangés dans l'ordre contraire :

\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\lt\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}

\sqrt{7}-\sqrt{6}\lt\sqrt{6}-\sqrt{5}

Sur la droite graduée, les écarts entre

\sqrt{5}

\sqrt{6}

\sqrt{7}

diminuent.

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