Comparer deux nombres par la différence ou par le quotient - Exercice 2

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Comparer les nombres suivants en étudiant leur quotient. On pourra écrire les deux nombres avec le même exposant.
Question 1

5405^{40} et 4504^{50}

Correction
  • Par la différence : si a−b>0a-b\gt 0 alors a>ba\gt b ; si a−b<0a-b\lt 0 alors a<ba\lt b.
  • Par le quotient, pour a>0a\gt 0 et b>0b\gt 0 : si ab>1\dfrac{a}{b}\gt 1 alors a>ba\gt b ; si ab<1\dfrac{a}{b}\lt 1 alors a<ba\lt b.
Les deux nombres sont strictement positifs.
540=54×10=(54)10=625105^{40}=5^{4\times 10}=\left(5^{4}\right)^{10}=625^{10}
450=45×10=(45)10=1  024104^{50}=4^{5\times 10}=\left(4^{5}\right)^{10}=1\;024^{10}
540450=625101  02410=(6251  024)10\dfrac{5^{40}}{4^{50}}=\dfrac{625^{10}}{1\;024^{10}}=\left(\dfrac{625}{1\;024}\right)^{10}
Or 0<6251  024<10\lt\dfrac{625}{1\;024}\lt 1, donc ses puissances sont aussi comprises entre 00 et 11 : 540450<1\dfrac{5^{40}}{4^{50}}\lt 1.
540<4505^{40}\lt 4^{50}
Question 2

A=312×24A=3^{12}\times 2^{4} et B=68B=6^{8}

Correction
    Soit xx et yy deux réels non nuls, nn et mm deux entiers relatifs.
  • xn×xm=xn+mx^{n}\times x^{m}=x^{n+m}
  • xnxm=xn−m\dfrac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m}
  • (xn)m=xn×m\left(x^{n}\right)^{m}=x^{n\times m}
  • (xy)n=xn×yn\left(xy\right)^{n}=x^{n}\times y^{n}
B=68=(2×3)8=28×38B=6^{8}=\left(2\times 3\right)^{8}=2^{8}\times 3^{8}
AB=312×2428×38\dfrac{A}{B}=\dfrac{3^{12}\times 2^{4}}{2^{8}\times 3^{8}} équivaut successivement à :
AB=312−8×24−8\dfrac{A}{B}=3^{12-8}\times 2^{4-8}
AB=34×2−4\dfrac{A}{B}=3^{4}\times 2^{-4}
AB=8116\dfrac{A}{B}=\dfrac{81}{16}
Or 8116>1\dfrac{81}{16}\gt 1, donc :
A>BA\gt B
Question 3

C=220C=2^{20} et D=106D=10^{6}

Correction
    Soit xx et yy deux réels non nuls, nn et mm deux entiers relatifs.
  • xn×xm=xn+mx^{n}\times x^{m}=x^{n+m}
  • xnxm=xn−m\dfrac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m}
  • (xn)m=xn×m\left(x^{n}\right)^{m}=x^{n\times m}
  • (xy)n=xn×yn\left(xy\right)^{n}=x^{n}\times y^{n}
D=106=(2×5)6=26×56D=10^{6}=\left(2\times 5\right)^{6}=2^{6}\times 5^{6}
CD=22026×56\dfrac{C}{D}=\dfrac{2^{20}}{2^{6}\times 5^{6}} équivaut successivement à :
CD=21456\dfrac{C}{D}=\dfrac{2^{14}}{5^{6}}
CD=16  38415  625\dfrac{C}{D}=\dfrac{16\;384}{15\;625}
Or 16  384>15  62516\;384\gt 15\;625, donc CD>1\dfrac{C}{D}\gt 1 :
220>1062^{20}\gt 10^{6}

Remarque : 210=1  0242^{10}=1\;024 est proche de 10310^{3}, d'où 220≈1062^{20}\approx 10^{6} ; le calcul montre que 2202^{20} est un peu plus grand.

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