Calculer avec des écritures fractionnaires contenant des lettres - Exercice 3

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Problème : deux résistances en parallèle
Lorsque deux résistances R1R_{1} et R2R_{2}, exprimées en ohms (Ω\Omega), sont branchées en parallèle entre deux points MM et NN, elles se comportent comme une seule résistance RR telle que : 1R=1R1+1R2\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}.
Question 1

Écrire 1R1+1R2\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}} sous la forme d'une seule fraction.

Correction
    Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur :
  • ab+cd=a×db×d+c×bd×b=ad+bcbd\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times d}{b\times d}+\dfrac{c\times b}{d\times b}=\dfrac{ad+bc}{bd} avec b≠0b\neq 0 et d≠0d\neq 0
1R1+1R2=1×R2R1×R2+1×R1R2×R1\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}=\dfrac{1\times R_{2}}{R_{1}\times R_{2}}+\dfrac{1\times R_{1}}{R_{2}\times R_{1}}
1R1+1R2=R1+R2R1R2\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}=\dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}
Question 2

En déduire que R=R1R2R1+R2R=\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.

Correction
  • Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : ab÷cd=ab×dc\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}
  • L'inverse de ab\dfrac{a}{b} est ba\dfrac{b}{a} (avec a≠0a\neq 0 et b≠0b\neq 0)
D'après la question 1 : 1R=R1+R2R1R2\dfrac{1}{R}=\dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}.
Deux nombres non nuls égaux ont des inverses égaux. En prenant l'inverse de chaque membre :
R=R1R2R1+R2R=\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}
Question 3

Calculer RR lorsque R1=6  ΩR_{1}=6\;\Omega et R2=3  ΩR_{2}=3\;\Omega.

Correction
R=6×36+3R=\dfrac{6\times 3}{6+3}
R=189R=\dfrac{18}{9}
R=2  ΩR=2\;\Omega
Question 4

On branche en parallèle deux résistances égales à rr. Montrer que R=r2R=\dfrac{r}{2}.

Correction
R=r×rr+rR=\dfrac{r\times r}{r+r} équivaut successivement à :
R=r22rR=\dfrac{r^{2}}{2r}
R=r×r2×rR=\dfrac{\cancel{r}\times r}{2\times\cancel{r}}
R=r2R=\dfrac{r}{2}

Deux résistances égales branchées en parallèle équivalent à une résistance deux fois plus petite.
Question 5

Montrer que la résistance RR est plus petite que R1R_{1}.

Correction
  • Par la différence : si a−b>0a-b\gt 0 alors a>ba\gt b ; si a−b<0a-b\lt 0 alors a<ba\lt b.
  • Par le quotient, pour a>0a\gt 0 et b>0b\gt 0 : si ab>1\dfrac{a}{b}\gt 1 alors a>ba\gt b ; si ab<1\dfrac{a}{b}\lt 1 alors a<ba\lt b.
On étudie le signe de la différence R1−RR_{1}-R.
R1−R=R1−R1R2R1+R2R_{1}-R=R_{1}-\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} équivaut successivement à :
R1−R=R1(R1+R2)R1+R2−R1R2R1+R2R_{1}-R=\dfrac{R_{1}\left(R_{1}+R_{2}\right)}{R_{1}+R_{2}}-\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}
R1−R=R12+R1R2−R1R2R1+R2R_{1}-R=\dfrac{R_{1}^{2}+R_{1}R_{2}-R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}
R1−R=R12R1+R2R_{1}-R=\dfrac{R_{1}^{2}}{R_{1}+R_{2}}
Or R12>0R_{1}^{2}\gt 0 et R1+R2>0R_{1}+R_{2}\gt 0, donc R1−R>0R_{1}-R\gt 0 :
R<R1R\lt R_{1}

De même, R<R2R\lt R_{2} : la résistance équivalente est plus petite que chacune des deux résistances.

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