Calculer avec des écritures fractionnaires contenant des lettres - Exercice 2

10 min
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Dans chaque cas, xx désigne un réel pour lequel l'expression existe. Simplifier chaque expression.
Question 1

E=x2−9x+3E=\dfrac{x^{2}-9}{x+3}

Correction
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
  • (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}
E=x2−9x+3E=\dfrac{x^{2}-9}{x+3} équivaut successivement à :
E=x2−32x+3E=\dfrac{x^{2}-3^{2}}{x+3}
E=(x−3)(x+3)x+3E=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+3}
E=(x−3)×(x+3)(x+3)E=\dfrac{\left(x-3\right)\times\cancel{\left(x+3\right)}}{\cancel{\left(x+3\right)}}
E=x−3E=x-3

pour tout réel x≠−3x\neq -3.
Question 2

F=4x2+4x+12x+1F=\dfrac{4x^{2}+4x+1}{2x+1}

Correction
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
  • (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}
On reconnaît une identité remarquable : 4x2+4x+1=(2x)2+2×2x×1+12=(2x+1)24x^{2}+4x+1=\left(2x\right)^{2}+2\times 2x\times 1+1^{2}=\left(2x+1\right)^{2}.
F=4x2+4x+12x+1F=\dfrac{4x^{2}+4x+1}{2x+1} équivaut successivement à :
F=(2x+1)22x+1F=\dfrac{\left(2x+1\right)^{2}}{2x+1}
F=(2x+1)×(2x+1)(2x+1)F=\dfrac{\left(2x+1\right)\times\cancel{\left(2x+1\right)}}{\cancel{\left(2x+1\right)}}
F=2x+1F=2x+1

pour tout réel x≠−12x\neq -\dfrac{1}{2}.
Question 3

G=x2x26G=\dfrac{\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x^{2}}{6}}

Correction
  • Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : ab÷cd=ab×dc\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}
  • L'inverse de ab\dfrac{a}{b} est ba\dfrac{b}{a} (avec a≠0a\neq 0 et b≠0b\neq 0)
G=x2x26G=\dfrac{\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x^{2}}{6}} équivaut successivement à :
G=x2÷x26G=\dfrac{x}{2}\div\dfrac{x^{2}}{6}
G=x2×6x2G=\dfrac{x}{2}\times\dfrac{6}{x^{2}}
G=6x2x2G=\dfrac{6x}{2x^{2}}
G=3×2×x2×x×xG=\dfrac{3\times\cancel{2}\times\cancel{x}}{\cancel{2}\times x\times\cancel{x}}
G=3xG=\dfrac{3}{x}
Question 4

H=1x+1x2H=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}

Correction
    Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur :
  • ab+cd=a×db×d+c×bd×b=ad+bcbd\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times d}{b\times d}+\dfrac{c\times b}{d\times b}=\dfrac{ad+bc}{bd} avec b≠0b\neq 0 et d≠0d\neq 0
Le dénominateur commun est x2x^{2}.
H=1x+1x2H=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} équivaut successivement à :
H=1×xx×x+1x2H=\dfrac{1\times x}{x\times x}+\dfrac{1}{x^{2}}
H=x+1x2H=\dfrac{x+1}{x^{2}}

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