Algorithme : déterminer la première puissance qui dépasse une valeur - Exercice 3

15 min

Problème : élimination d'un médicament
Après une injection, la quantité de médicament présente dans le sang diminue de

20\;\%

chaque heure. On cherche au bout de combien d'heures il en reste moins de

5\;\%

de la dose injectée.

Question 1

Montrer qu'au bout de $n$ heures, il reste la proportion $0{,}8^{n}$ de la dose injectée.

Correction

Augmenter de $t\;\%$ revient à multiplier par $1+\dfrac{t}{100}$ .
Diminuer de $t\;\%$ revient à multiplier par $1-\dfrac{t}{100}$ .

Diminuer de

20\;\%

revient à multiplier par

1-\dfrac{20}{100}=0{,}8

.
Au bout de

n

heures, la dose a été multipliée

n

fois par

0{,}8

il reste la proportion

0{,}8^{n}

de la dose

Question 2

On cherche donc le plus petit entier $n$ tel que $0{,}8^{n}\lt 0{,}05$ . Expliquer pourquoi la fonction premiere_puissance de l'exercice 1 ne convient pas.

Correction

Comme

0\lt 0{,}8\lt 1

, les puissances de

0{,}8

diminuent : on cherche la première puissance inférieure à une valeur.
Avec la fonction de l'exercice 1, la condition

p\leq 0{,}05

est fausse dès le départ (car

p=1

) : la boucle ne s'exécute jamais et la fonction renvoie

0

, ce qui ne répond pas à la question.

Question 3

Modifier cette fonction pour qu'elle renvoie le plus petit entier $n$ tel que $a^{n}\lt$ seuil, lorsque $0\lt a\lt 1$ .

Correction

Il suffit de changer la condition de la boucle : on continue tant que

p\geq

seuil. Les modifications sont en rouge :

Question 4

L'appel premiere_puissance_inf(0.8, 0.05) renvoie $14$ . Le vérifier à la calculatrice, puis conclure.

Correction

0{,}8^{13}\approx 0{,}055

, donc

0{,}8^{13}\geq 0{,}05

;

0{,}8^{14}\approx 0{,}044

, donc

0{,}8^{14}\lt 0{,}05

Il reste moins de

5\;\%

de la dose au bout de

14

heures.

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Algorithme : déterminer la première puissance qui dépasse une valeur - Exercice 3

Montrer qu'au bout de nnn heures, il reste la proportion 0,8n0{,}8^{n}0,8n de la dose injectée.

On cherche donc le plus petit entier nnn tel que 0,8n<0,050{,}8^{n}\lt 0{,}050,8n<0,05. Expliquer pourquoi la fonction premiere_puissance de l'exercice 1 ne convient pas.

Modifier cette fonction pour qu'elle renvoie le plus petit entier nnn tel que an<a^{n}\ltan< seuil, lorsque 0<a<10\lt a\lt 10<a<1.

L'appel premiere_puissance_inf(0.8, 0.05) renvoie 141414. Le vérifier à la calculatrice, puis conclure.

Montrer qu'au bout de $n$ heures, il reste la proportion $0{,}8^{n}$ de la dose injectée.

On cherche donc le plus petit entier $n$ tel que $0{,}8^{n}\lt 0{,}05$ . Expliquer pourquoi la fonction premiere_puissance de l'exercice 1 ne convient pas.

Modifier cette fonction pour qu'elle renvoie le plus petit entier $n$ tel que $a^{n}\lt$ seuil, lorsque $0\lt a\lt 1$ .

L'appel premiere_puissance_inf(0.8, 0.05) renvoie $14$ . Le vérifier à la calculatrice, puis conclure.