Algorithme : déterminer la première puissance qui dépasse une valeur - Exercice 2

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Problème : un placement
On place 1  0001\;000 euros sur un compte rémunéré à 3  %3\;\% par an. Chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital.
Question 1

Montrer que chaque année le capital est multiplié par 1,031{,}03, puis exprimer le capital CnC_{n} au bout de nn années.

Correction
  • Augmenter de t  %t\;\% revient à multiplier par 1+t1001+\dfrac{t}{100}.
  • Diminuer de t  %t\;\% revient à multiplier par 1−t1001-\dfrac{t}{100}.
Augmenter de 3  %3\;\% revient à multiplier par 1+3100=1,031+\dfrac{3}{100}=1{,}03.
Au bout de nn années, le capital de départ a été multiplié nn fois par 1,031{,}03 :
Cn=1  000×1,03nC_{n}=1\;000\times 1{,}03^{n}
Question 2

Montrer que le capital a doublé lorsque 1,03n>21{,}03^{n}\gt 2.

Correction
Le capital a doublé lorsque Cn>2  000C_{n}\gt 2\;000, c'est-à-dire lorsque :
1  000×1,03n>2  0001\;000\times 1{,}03^{n}\gt 2\;000
On divise les deux membres par 1  0001\;000, qui est positif :
1,03n>21{,}03^{n}\gt 2
Question 3

Quel appel de la fonction premiere_puissance de l'exercice 1 permet de trouver le nombre d'années nécessaire ?

Correction
On cherche le plus petit entier nn tel que 1,03n>21{,}03^{n}\gt 2 :
premiere_puissance(1.03, 2)

En Python, la virgule décimale s'écrit avec un point.
Question 4

Cet appel renvoie 2424. Le vérifier à la calculatrice, puis conclure.

Correction
1,0323≈1,9741{,}03^{23}\approx 1{,}974, donc 1,0323≤21{,}03^{23}\leq 2 ; 1,0324≈2,0331{,}03^{24}\approx 2{,}033, donc 1,0324>21{,}03^{24}\gt 2.
Le capital aura doublé au bout de 2424 ans.

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