Calcul littéral : développement, factorisation, identités remarquables

Factorisation en utilisant les identités remarquables - Exercice 1

20 min
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Factoriser les expressions suivantes :
Question 1

A=x2+2x+1A=x^{2} +2x+1

Correction
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a2+2×a×b+b2=(a+b)2{\color{blue}a}^{2} +2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}
A=x2+2x+1A=x^{2} +2x+1
A=x2+2×x×1+12A={\color{blue}x}^{2} +2\times {\color{blue}x}\times {\color{red}1}+{\color{red}1}^{2}
Ici nous avons a=xa={\color{blue}x} et b=1b={\color{red}1}. Il vient alors que :
A=(x+1)2A=\left({\color{blue}x}+{\color{red}1}\right)^{2}
Question 2

B=4x212x+9B=4x^{2} -12x+9

Correction
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a22×a×b+b2=(ab)2{\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}
B=4x212x+9B=4x^{2} -12x+9
B=(2x)22×2x×3+32B=\left({\color{blue}2x}\right)^{2} -2\times{\color{blue}2x}\times {\color{red}3}+{\color{red}3}^{2}
Ici nous avons a=2xa={\color{blue}2x} et b=3b={\color{red}3}. Il vient alors que :
B=(2x3)2B=\left({\color{blue}2x}-{\color{red}3}\right)^{2}
Question 3

C=25x249C=25x^{2}-49

Correction
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a2b2=(ab)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
C=25x249C=25x^{2}-49 équivaut successivement à :
C=(5x)272C=\left({\color{blue}5x}\right)^{2} -{\color{red}7}^{2}
Ici nous avons a=5xa={\color{blue}5x} et b=7b={\color{red}7}. Il vient alors que :
C=(5x7)(5x+7)C=\left({\color{blue}5x}-{\color{red}7}\right)\left({\color{blue}5x}+{\color{red}7}\right)

Question 4

D=8164x2D=81-64x^{2}

Correction
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a2b2=(ab)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
D=8164x2D=81-64x^{2} équivaut successivement à :
D=92(8x)2D={\color{blue}9}^{2}-\left({\color{red}8x}\right)^{2}
Ici nous avons a=9a={\color{blue}9} et b=8xb={\color{red}8x}. Il vient alors que :
D=(98x)(9+8x)D=\left({\color{blue}9}-{\color{red}8x}\right)\left({\color{blue}9}+{\color{red}8x}\right)
Question 5

E=4x22x+14E=4x^{2} -2x+\frac{1}{4}

Correction
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a22×a×b+b2=(ab)2{\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}
E=4x22x+14E=4x^{2} -2x+\frac{1}{4}
E=(2x)22×2x×12+(12)2E=\left({\color{blue}2x}\right)^{2} -2\times {\color{blue}2x}\times {\color{red}\frac{1}{2}} +\left({\color{red}\frac{1}{2}} \right)^{2}
Ici nous avons a=2xa={\color{blue}2x} et b=12b={\color{red}\frac{1}{2}}. Il vient alors que :
E=(2x12)2E=\left({\color{blue}2x}-{\color{red}\frac{1}{2}} \right)^{2}

Question 6

F=x2+24x+144F=x^{2} +24x+144

Correction
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a2+2×a×b+b2=(a+b)2{\color{blue}a}^{2} +2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}
F=x2+24x+144F=x^{2} +24x+144
F=x2+2×x×12+122F={\color{blue}x}^{2} +2\times {\color{blue}x}\times {\color{red}12}+{\color{red}12}^{2}
Ici nous avons a=xa={\color{blue}x} et b=12b={\color{red}12}. Il vient alors que :
F=(x+12)2F=\left({\color{blue}x}+{\color{red}12}\right)^{2}
Question 7

G=64x280x+25G=64x^{2} -80x+25

Correction
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a22×a×b+b2=(ab)2{\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}
G=64x280x+25G=64x^{2} -80x+25
G=(8x)22×8x×5+52G=\left({\color{blue}8x}\right)^{2} -2\times{\color{blue}8x}\times {\color{red}5}+{\color{red}5}^{2}
Ici nous avons a=8xa={\color{blue}8x} et b=5b={\color{red}5}. Il vient alors que :
G=(8x5)2G=\left({\color{blue}8x}-{\color{red}5}\right)^{2}