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Seconde
Calcul littéral : développement, factorisation, identités remarquables
Factorisation en utilisant les identités remarquables

Calcul littéral : développement, factorisation, identités remarquables

Factorisation en utilisant les identités remarquables

Exercice 1

Factoriser les expressions suivantes :

1

$A=x^{2} +2x+1$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} +2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}$

A=x^{2} +2x+1

A={\color{blue}x}^{2} +2\times {\color{blue}x}\times {\color{red}1}+{\color{red}1}^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}x}

et

b={\color{red}1}

. Il vient alors que :

A=\left({\color{blue}x}+{\color{red}1}\right)^{2}

2

$B=4x^{2} -12x+9$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}$

B=4x^{2} -12x+9

B=\left({\color{blue}2x}\right)^{2} -2\times{\color{blue}2x}\times {\color{red}3}+{\color{red}3}^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}2x}

et

b={\color{red}3}

. Il vient alors que :

B=\left({\color{blue}2x}-{\color{red}3}\right)^{2}

3

$C=25x^{2}-49$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)$

C=25x^{2}-49

équivaut successivement à :

C=\left({\color{blue}5x}\right)^{2} -{\color{red}7}^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}5x}

et

b={\color{red}7}

. Il vient alors que :

C=\left({\color{blue}5x}-{\color{red}7}\right)\left({\color{blue}5x}+{\color{red}7}\right)

4

$D=81-64x^{2}$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)$

D=81-64x^{2}

équivaut successivement à :

D={\color{blue}9}^{2}-\left({\color{blue}8x}\right)^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}9}

et

b={\color{red}8x}

. Il vient alors que :

D=\left({\color{blue}9}-{\color{red}8x}\right)\left({\color{blue}9}+{\color{red}8x}\right)

5

$E=4x^{2} -2x+\frac{1}{4}$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}$

E=4x^{2} -2x+\frac{1}{4}

E=\left({\color{blue}2x}\right)^{2} -2\times {\color{blue}2x}\times {\color{red}\frac{1}{2}} +\left({\color{red}\frac{1}{2}} \right)^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}2x}

et

b={\color{red}\frac{1}{2}}

. Il vient alors que :

E=\left({\color{blue}2x}-{\color{red}\frac{1}{2}} \right)^{2}

6

$F=x^{2} +24x+144$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} +2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}$

F=x^{2} +24x+144

F={\color{blue}x}^{2} +2\times {\color{blue}x}\times {\color{red}12}+{\color{red}12}^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}x}

et

b={\color{red}12}

. Il vient alors que :

F=\left({\color{blue}x}+{\color{red}12}\right)^{2}

7

$G=64x^{2} -80x+25$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}$

G=64x^{2} -80x+25

G=\left({\color{blue}8x}\right)^{2} -2\times{\color{blue}8x}\times {\color{red}5}+{\color{red}5}^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}8x}

et

b={\color{red}5}

. Il vient alors que :

G=\left({\color{blue}8x}-{\color{red}5}\right)^{2}

Exercice 2

Factoriser les expressions suivantes :

1

$A=x^{2} -6x+9$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}$

A=x^{2} -6x+9

A={\color{blue}x}^{2} -2\times{\color{blue}x}\times {\color{red}3}+{\color{red}3}^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}x}

et

b={\color{red}3}

. Il vient alors que :

A=\left({\color{blue}x}-{\color{red}3}\right)^{2}

2

$B=4x^{2}+20x+25$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} +2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}$

B=4x^{2} +20x+25

B=\left({\color{blue}2x}\right)^{2} +2\times{\color{blue}2x}\times {\color{red}5}+{\color{red}5}^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}2x}

et

b={\color{red}5}

. Il vient alors que :

B=\left({\color{blue}2x}+{\color{red}5}\right)^{2}

3

$C=9x^{2} -24x+16$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}$

C=9x^{2} -24x+16

C=\left({\color{blue}3x}\right)^{2} -2\times{\color{blue}3x}\times {\color{red}4}+{\color{red}4}^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}3x}

et

b={\color{red}4}

. Il vient alors que :

C=\left({\color{blue}3x}-{\color{red}4}\right)^{2}

4

$D=36x^{2}+108x+81$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} +2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}$

D=36x^{2} +108x+81

D=\left({\color{blue}6x}\right)^{2} +2\times{\color{blue}6x}\times {\color{red}9}+{\color{red}9}^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}6x}

et

b={\color{red}9}

. Il vient alors que :

D=\left({\color{blue}6x}+{\color{red}9}\right)^{2}

Exercice 3

Factoriser les expressions suivantes :

1

$A=36-\left(5x-9\right)^{2}$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)$

A=36-\left(5x-9\right)^{2}

équivaut successivement à :

A={\color{blue}6}^{2}-\left({\color{red}5x-9}\right)^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}6}

et

b={\color{red}5x-9}

. Il vient alors que :

A=\left({\color{blue}6}-{\color{red}\left(5x-9\right)}\right)\left({\color{blue}6}+{\color{red}5x-9}\right)

A=\left(6-5x+9\right)\left(6+5x-9\right)

\;\;\;

\pink{\text{Ne pas oublier de changer les signes dans la première parenthèse.}}

Ainsi :

A=\left(-5x+15\right)\left(5x-3\right)

2

$B=\left(2x-1\right)^{2}-\left(4x-2\right)^{2}$

Correction

\purple{\text{Identité remarquable}}

${\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)$

B=\left(2x-1\right)^{2}-\left(4x-2\right)^{2}

équivaut successivement à :

B=\left({\color{blue}2x-1}\right)^{2}-\left({\color{red}4x-2}\right)^{2}

Ici nous avons

a={\color{blue}2x-1}

et

b={\color{red}4x-2}

. Il vient alors que :

B=\left({\color{blue}\left(2x-1\right)}-{\color{red}\left(4x-2\right)}\right)\left({\color{blue}2x-1}+{\color{red}4x-2}\right)

B=\left(2x-1-4x+2\right)\left(2x-1+4x-2\right)

\;\;

\pink{\text{Ne pas oublier de changer les signes dans la première parenthèse.}}

Ainsi :

B=\left(-2x+1\right)\left(6x-3\right)

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