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Cours sur les factorisations

Factorisation

Définition

  • Factoriser une somme, c’est écrire cette somme sous la forme d’un produit.

Méthodes

Recherche du facteur commun

Propriété
  • Pour factoriser une expression, il faut chercher le facteur commun dans chaque terme de l'expression.
Exemple 1 :\pink{\text{Exemple 1 :}} Factoriser l’expression A=4x−4y−4zA=4x-4y-4z
Le facteur commun ici est 4{\color{blue}4}.
A=4×x−4×y−4×zA= {\color{blue}4}\times x-{\color{blue}4}\times y-{\color{blue}4}\times z
Ainsi :
A=4(x−y−z)A={\color{blue}4}\left(x-y-z\right)
Exemple 2 :\pink{\text{Exemple 2 :}} Factoriser l’expression B(x)=5x2−4xB\left(x\right)=5x^{2}-4x
Le facteur commun ici est x{\color{blue}x}.
B(x)=5×x×x−4×xB\left(x\right)=5\times {\color{blue}x}\times x-4\times {\color{blue}x}
Ainsi :
B(x)=x(5x−4)B\left(x\right)={\color{blue}x}\left(5x-4\right)
Exemple 3 :\pink{\text{Exemple 3 :}} Factoriser l’expression C(x)=(2x+6)(3x−7)+(4−x)(2x+6)C\left(x\right)=\left(2x+6\right)\left(3x-7\right)+\left(4-x\right)\left(2x+6\right)
Le facteur commun ici est 2x+6{\color{blue}{2x+6}}.
C(x)=(2x+6)(3x−7)+(4−x)(2x+6)C\left(x\right)={\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\left(3x-7\right)+\left(4-x\right){\color{blue}{\left(2x+6\right)}} équivaut successivement à :
C(x)=(2x+6)×(3x−7+4−x)C\left(x\right)={\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\times \left(3x-7+4-x\right)
Ainsi :
C(x)=(2x+6)(2x−3)C\left(x\right)=\left(2x+6\right)\left(2x-3\right)

Factorisation avec les identités remarquables

Factoriser en utilisant l'identité remarquable a2+2×a×b+b2=(a+b)2{\color{blue}a}^{2} +2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}

Remarque :
  • Si l'expression n'admet pas de facteur commun, il faut penser à utiliser les identités remarquables.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Factoriser l’expression D(x)=9x2+12x+4D\left(x\right)=9x^{2} +12x+4
D(x)=9x2+12x+4D\left(x\right)=9x^{2} +12x+4 équivaut successivement à :
D(x)=(3x)2+2×3x×2+22D\left(x\right)=\left({\color{blue}3x}\right)^{2} +2\times{\color{blue}3x}\times {\color{red}2}+{\color{red}2}^{2}
Ici nous avons a=3xa={\color{blue}3x} et b=2b={\color{red}2}. Il vient alors que :
Ainsi :
D(x)=(3x+2)2D\left(x\right)=\left({\color{blue}3x}+{\color{red}2}\right)^{2}

Factoriser en utilisant l'identité remarquable a2−2×a×b+b2=(a−b)2{\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}

Remarque :
  • Si l'expression n'admet pas de facteur commun, il faut penser à utiliser les identités remarquables.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Factoriser l’expression E(x)=x2−6x+9E\left(x\right)=x^{2} -6x+9
E(x)=x2−6x+9E\left(x\right)=x^{2} -6x+9 équivaut successivement à :
E(x)=x2−2×x×3+32E\left(x\right)={\color{blue}x}^{2} -2\times{\color{blue}x}\times {\color{red}3}+{\color{red}3}^{2}
Ici nous avons a=xa={\color{blue}x} et b=3b={\color{red}3}. Il vient alors que :
E(x)=(x−3)2E\left(x\right)=\left({\color{blue}x}-{\color{red}3}\right)^{2}

Factoriser en utilisant l'identité remarquable a2−b2=(a−b)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)

Remarque :
  • Si l'expression n'admet pas de facteur commun, il faut penser à utiliser les identités remarquables.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Factoriser l’expression F(x)=4x2−25F\left(x\right)=4x^{2}-25
F(x)=4x2−25F\left(x\right)=4x^{2}-25 équivaut successivement à :
F(x)=(2x)2−52F\left(x\right)=\left({\color{blue}2x}\right)^{2} -{\color{red}5}^{2}
Ici nous avons a=2xa={\color{blue}2x} et b=5b={\color{red}5}. Il vient alors que :
F(x)=(2x−5)(2x+5)F\left(x\right)=\left({\color{blue}2x}-{\color{red}5}\right)\left({\color{blue}2x}+{\color{red}5}\right)