Vérifier qu'une fonction FF est une primitive d'une fonction ff - Exercice 7

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Soit ff la fonction définie pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ par f(x)=3ln⁡(x)+1x+3.f\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+\frac{1}{x}+3.
Question 1

Déterminer les 22 réels aa et bb pour que F(x)=(ax+b)ln⁡(x)F\left(x\right)=\left(ax+b\right)\ln \left(x\right).

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Soit : F(x)=(ax+b)ln⁡(x)F\left(x\right)=\left(ax+b\right)\ln \left(x\right)
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=ax+bu\left(x\right)=ax+b et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right) .
Ainsi : u′(x)=au'\left(x\right)=a et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
F′(x)=a×ln⁡(x)+(ax+b)×1xF'\left(x\right)=a\times \ln \left(x\right)+\left(ax+b\right)\times \frac{1}{x}
F′(x)=a×ln⁡(x)+ax×1x+b×1xF'\left(x\right)=a\times \ln \left(x\right)+ax\times \frac{1}{x} +b\times \frac{1}{x}
F′(x)=aln⁡(x)+a+bxF'\left(x\right)=a\ln \left(x\right)+a+\frac{b}{x}
Or, il nous faut que F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right), ce qui nous donne ici :
aln⁡(x)+a+bx=3ln⁡(x)+1x+3{\color{blue}a}\ln \left(x\right)+{\color{blue}a}+\frac{{\color{red}b}}{x}={\color{blue}3}\ln \left(x\right)+\frac{{\color{red}1}}{x}+{\color{blue}3}

Par identification, on obtient : a=3{\color{blue}a}={\color{blue}3} et b=1{\color{red}b}={\color{red}1}.
Finalement : F(x)=(3x+1)ln⁡(x)F\left(x\right)=\left(3x+1\right)\ln \left(x\right) est alors une primitive de ff.

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