Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Soit $$x\in \left]-3;+\infty\right[$$ .
Nous allons partir de l'expression $$f\left(x\right)=ax+b+\frac{c}{3x+9}$$ et mettre tout au même dénominateur.
$$f\left(x\right)=ax+b+\frac{c}{3x+9}$$
$$f\left(x\right)=\frac{ax+b}{1} +\frac{c}{3x+9}$$
$$f\left(x\right)=\frac{\left(ax+b\right)\times \left(3x+9\right)}{1\times \left(3x+9\right)} +\frac{c}{3x+9}$$
$$f\left(x\right)=\frac{\left(ax+b\right)\left(3x+9\right)}{\left(3x+9\right)} +\frac{c}{3x+9}$$
$$f\left(x\right)=\frac{3ax^{2} +9ax+3bx+9b}{\left(3x+9\right)} +\frac{c}{3x+9}$$
$$f\left(x\right)=\frac{3ax^{2} +9ax+3bx+9b+c}{\left(3x+9\right)}$$
$$f\left(x\right)=\frac{3ax^{2} +\left(9a+3b\right)x+9b+c}{\left(3x+9\right)}$$
Nous voulons que $$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{3a}}x^{2} +\left({\color{red}{9a+3b}}\right)x+{\color{purple}9b+c}}{\left(3x+9\right)}$$ soit égale à $$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{9}}x^{2}{\color{red}{+12}}x{\color{purple}-43}}{3x+9}$$ .
Par identification, on obtient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3a} & {=} & {9} \\ {9a+3b} & {=} & {12} \\ {9b+c} & {=} & {-43} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{9}{3} } \\ {9a+3b} & {=} & {12} \\ {9b+c} & {=} & {-43} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {9a+3b} & {=} & {12} \\ {9b+c} & {=} & {-43} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {9\times 3+3b} & {=} & {12} \\ {9b+c} & {=} & {-43} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {27+3b} & {=} & {12} \\ {9b+c} & {=} & {-43} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {3b} & {=} & {12-27} \\ {9b+c} & {=} & {-43} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {3b} & {=} & {-15} \\ {9b+c} & {=} & {-43} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {b} & {=} & {-5} \\ {9b+c} & {=} & {-43} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {b} & {=} & {-5} \\ {9\times \left(-5\right)+c} & {=} & {-43} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {b} & {=} & {-5} \\ {-45+c} & {=} & {-43} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {b} & {=} & {-5} \\ {c} & {=} & {-43+45} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {b} & {=} & {-5} \\ {c} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
Finalement, pour tout réel $$x\in \left]-3;+\infty\right[$$, on a :

D'après la question précédente, nous avons déterminer l'expression de $$f$$ sous la forme : $$f\left(x\right)=3x-5+\frac{2}{3x+9}$$
Nous allons introduire la fonction $$g$$ continue sur $$\left]-3;+\infty\right[$$ définie par : $$g\left(x\right)=\frac{2}{3x+9}$$ . Nous allons calculer une primitive de $$g$$.
La fonction $$g$$ est de la forme $${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=3x+9}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=3}}$$ .
$$g\left(x\right)=\frac{2}{3x+9}$$ s'écrit alors
$$g\left(x\right)={\color{purple}{\frac{2}{3}}}\times\frac{{\color{blue}{3}}}{{\color{red}{3x+9}}}$$
$$g\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ . La valeur de $${\color{purple}{k}}$$ ici est $${\color{purple}{\frac{2}{3}}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $${\color{purple}{k}}\times\ln\left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$g$$ sur $$\left]-3;+\infty\right[$$ est :
$$G\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)$$
Ainsi :
Nous allons pourvoir calculer les primitives de $$f$$ .
On a :
$$f\left(x\right)=3x-5+\frac{2}{3x+9}$$
$$f\left(x\right)=3x-5+g\left(x\right)$$
Ainsi :
$$F\left(x\right)=\frac{3}{2}x^{2}-5x+G\left(x\right)+k$$ où $$k\in \mathbb{R}$$
$$F\left(x\right)=\frac{3}{2}x^{2}-5x+\frac{2}{3} \ln \left(3x+9\right) +k$$ où $$k\in \mathbb{R}$$
Enfin, on va déduire la primitive de $$f$$ vérifiant $$F\left(2\right)=4$$.
On peut donc écrire que :
$$\frac{3}{2}\times2^{2}-5\times2+\frac{2}{3} \ln \left(3\times2+9\right) +k=4$$
$$6-10+\frac{2}{3} \ln \left(15\right) +k=4$$
$$-4+\frac{2}{3} \ln \left(15\right) +k=4$$
$$k=4+4-\frac{2}{3} \ln \left(15\right)$$
Ainsi :
Finalement, la primitive de $$f$$ vérifiant $$F\left(2\right)=4$$ s'écrit alors :