Déterminer la primitive d'une fonction vérifiant la condition proposée - Exercice 2

6 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Pour chaque question, déterminer la primitive de la fonction vérifiant la condition proposée.
Question 1

f(x)=3x−1f\left(x\right)=3x-1   \;;  \; F(4)=1F\left(4\right)=1

Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
    • Il nous faut commencer par déterminer les primitives de ff. Ainsi :
    F(x)=3×12x2−x+cF\left(x\right)=3\times\frac{1}{2}x^{2} -x+c
    Soit :
    F(x)=32x2−x+cF\left(x\right)=\frac{3}{2}x^{2} -x+c
    où cc est une constante réelle.
    Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant F(4)=1F\left(4\right)=1. Il vient alors :
    F(4)=1F\left(4\right)=1 équivaut successivement à :
    32×42−4+c=1\frac{3}{2}\times 4^{2} -4+c=1
    32×16−4+c=1\frac{3}{2}\times 16 -4+c=1
    24−4+c=124 -4+c=1
    20+c=120+c=1
    c=1−20c=1-20
    c=−19c=-19
    La primitive de la fonction ff vérifiant la condition F(4)=1F\left(4\right)=1 est alors :
    F(x)=32x2−x−19F\left(x\right)=\frac{3}{2}x^{2} -x-19
    Question 2

    f(x)=−6x2+8x+2f\left(x\right)=-6x^{2}+8x+2   \;;  \; F(1)=3F\left(1\right)=3

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • Il nous faut commencer par déterminer les primitives de ff. Ainsi :
    F(x)=−6×13x3+8×12x2+2x+cF\left(x\right)=-6\times \frac{1}{3} x^{3} +8\times \frac{1}{2} x^{2} +2x+c
    Soit
    F(x)=−2x3+4x2+2x+cF\left(x\right)=-2x^{3} +4x^{2} +2x+c
    où cc est une constante réelle.
    Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant F(1)=3F\left(1\right)=3. Il vient alors :
    F(1)=3F\left(1\right)=3 équivaut successivement à :
    −2×13+4×12+2×1+c=3-2\times 1^{3} +4\times 1^{2} +2\times 1+c=3
    −2+4+2+c=3-2+4+2+c=3
    4+c=34+c=3
    c=3−4c=3-4
    c=−1c=-1

    La primitive de la fonction ff vérifiant la condition F(1)=3F\left(1\right)=3 est alors :
    F(x)=−2x3+4x2+2x−1F\left(x\right)=-2x^{3} +4x^{2} +2x-1

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