Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

Notons $$f=\frac{1}{1+x}$$ . $$f$$ est continue sur $$\left[0;1\right]$$ .
Soit $$x\in \left[0;1\right]$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=1+x}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=1}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{1}}}{{\color{red}{1+x}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$\ln\left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left[0;1\right]$$ est :
$$F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)$$
Ainsi :
Il vient alors que :
$$u_0=\int_0^1 \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$$
$$u_0=[\ln (1+x)]_0^1$$
$$u_0=\ln 2-\ln 1$$.
Ainsi :

Pour tout entier naturel $$n$$, on a :
$$u_{n+1}+u_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x} \mathrm{~d} x+\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \mathrm{~d} x$$ . D'après la linéarité de l'intégrale, on a :
$$u_{n+1}+u_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}+\frac{x^n}{1+x} \mathrm{~d} x$$
$$u_{n+1}+u_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}+x^n}{1+x} \mathrm{~d} x$$
$$u_{n+1}+u_n=\int_0^1 \frac{x^{n}\times x+x^n}{1+x} \mathrm{~d} x$$ . On factorise par $$x^n$$ .
$$u_{n+1}+u_n=\int_0^1 \frac{x^n(x+1)}{1+x} \mathrm{~d} x$$
$$u_{n+1}+u_n=\int_0^1 x^n \mathrm{~d} x$$
$$u_{n+1}+u_n=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1$$
$$u_{n+1}+u_n=\frac{1^{n+1}}{n+1}-\frac{0^{n+1}}{n+1}$$
Ainsi :

Pour tout entier naturel $$n$$, nous venons de montrer que : $$u_{n+1}+u_n=\frac{1}{n+1}$$.
On peut donc écrire que :
$$u_{0+1}+u_0=\frac{1}{0+1}$$
$$u_{1}+u_0=1$$
$$u_{1}=1-u_0$$ . D'après la question $$1$$, on a démontré que $$u_0=\ln 2$$ .
Ainsi :

Il nous faut étudier le signe de $$u_{n+1}-u_n$$ .
Pour tout entier naturel $$n$$, on a :
$$u_{n+1}-u_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x} \mathrm{~d} x-\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \mathrm{~d} x$$ . D'après la linéarité de l'intégrale, on a :
$$u_{n+1}-u_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}-\frac{x^n}{1+x} \mathrm{~d} x$$
$$u_{n+1}-u_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}-x^n}{1+x} \mathrm{~d} x$$
$$u_{n+1}-u_n=\int_0^1 \frac{x^{n}\times x-x^n}{1+x} \mathrm{~d} x$$ . On factorise par $$x^n$$ .
$$u_{n+1}-u_n=\int_0^1 \frac{x^n(x-1)}{1+x} \mathrm{~d} x$$
Etudions le signe de $$x\mapsto \frac{x^n(x-1)}{1+x}$$ sur l'intervalle $$\left[0;1\right]$$ .
Comme $$x\in\left[0;1\right]$$ alors $$x^n\ge 0$$ et $$1+x> 0$$.
On peut également écrire que : $$0\le x \le 1$$ d'où $$-1\le x-1 \le 0$$.
On a donc montré que pour tout $$x\in\left[0;1\right]$$ : $$x^n\ge 0$$ et $$1+x> 0$$ puis $$x-1 \le 0$$.
Il en résulte donc que pour tout $$x\in\left[0;1\right]$$ : $$\frac{x^n(x-1)}{1+x}\le 0$$
Il en résulte donc que : $$\int_0^1 \frac{x^n(x-1)}{1+x} \mathrm{~d} x \leqslant 0$$ et ainsi : $$u_{n+1}-u_n \leqslant 0$$
La suite ( $$u_n$$ ) est décroissante.

Pour tout entier naturel $$n, \quad u_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \mathrm{~d} x$$
Nous savons que $$x\in \left[0;1\right]$$ et de ce fait $$1+x\ge 0$$ et $$x^n \ge 0$$.
Il en résulte donc que $$\frac{x^n}{1+x} \ge 0$$ pour tout $$x\in \left[0;1\right]$$.
Finalement, d'après la positivité de l'intégrale, on a : $$\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \mathrm{~d} x \ge 0$$
La suite $$\left(u_n\right)$$ est donc minorée par $$0$$ car nous pouvons écrire que : $$u_n\ge 0$$.
On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était minorée par $$0$$ car : $$u_{n} \ge 0$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.