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Une célèbre limite - Exercice 1

25 min

Question 1

Calculer la limite suivante :
$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x$

Correction

On a :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\ln\left(\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{x\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)}

Or, on sait que lorsque

X \longrightarrow 0

, on a la relation

\ln(1+X) \underset{0}{\sim} X

. Ainsi, si

x \longrightarrow +\infty

alors

\frac{1}{x} \longrightarrow 0

.Et on peut alors écrire que :

\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{x}

. On va donc avoir :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{x\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{x\frac{1}{x}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{1} = e^{1}

Finalement, on obtient le résultat suivant :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = e

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