Limites : en route vers le supérieur

Sinus cardinal en 0 - Exercice 1

10 min
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Question 1

Calculer, à partir de la notion de dérivée, la limite suivante :
lim⁡x⟶0sin⁡(x)x\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin(x)}{x}

Correction
D'après la définition de la fonction dérivée, en x=0x=0, on a :
sin⁡′(0)=lim⁡x⟶0sin⁡(x)−sin⁡(0)x=lim⁡x⟶0sin⁡(x)−0x=lim⁡x⟶0sin⁡(x)x\sin'(0) = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin(x) - \sin(0)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin(x) - 0}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin(x)}{x}

Or, on sait que sin⁡′(x)=cos⁡(x)\sin'(x) = \cos(x), et donc sin⁡′(x=0)=cos⁡(x=0)=1\sin'(x=0) = \cos(x=0) = 1. On peut donc conclure que :
lim⁡x⟶0sin⁡(x)x=1\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1.