Limites : en route vers le supérieur

Objectif supérieur (5) : pour vérifier que c'est OK ! - Exercice 1

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Question 1

Déterminer la valeur numérique de la limite suivante :
limx+2x3+2x2+14x2+3x+2sin(1x)\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3+2x^2+1}{4x^2+3x+2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)

Correction
La limite cherchée est :
limx+2x3+2x2+14x2+3x+2sin(1x)\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3+2x^2+1}{4x^2+3x+2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)
C'est à dire que dans la fraction initiale, les plus grandes puissances (au numérateur et au dénominateur) dominent cette fraction. On a alors :
limx+2x3+2x2+14x2+3x+2sin(1x)=limx+2x34x2sin(1x)=limx+24xsin(1x)=limx+122xsin(1x)\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3+2x^2+1}{4x^2+3x+2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3}{4x^2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}}{4}x \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2\sqrt{2}}x \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)
Comme x+x \longrightarrow + \infty cela implique que 1x0\dfrac{1}{x} \longrightarrow 0 et de fait sin(1x)+1x \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) \underset{+ \infty}{\sim} \dfrac{1}{x}. On a alors :
limx+2x3+2x2+14x2+3x+2sin(1x)=limx+122x×1x=limx+122×1=limx+122\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3+2x^2+1}{4x^2+3x+2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2\sqrt{2}}x \times \dfrac{1}{x} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \times 1 = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2\sqrt{2}}
Finalement, on trouve que la limite cherchée vaut :
limx+2x3+2x2+14x2+3x+2sin(1x)=122\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3+2x^2+1}{4x^2+3x+2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}