Limites : en route vers le supérieur

Objectif supérieur (4) - Exercice 1

45 min
70
Question 1

Soit nn un entier naturel différent de zéro.
Calculer la limite suivante : limx0i=1nsin(ix)x\lim_{x \longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\sin(ix)}{x}

Correction
On a :
limx0i=1nsin(ix)x=limx0(sin(x)x+sin(2x)x+sin(3x)x++sin(nx)x)=limx0sin(x)x+limx0sin(2x)x+limx0sin(3x)x++limx0sin(nx)x\lim_{x \longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\sin(ix)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{\sin(x)}{x} + \dfrac{\sin(2x)}{x} + \dfrac{\sin(3x)}{x} + \cdots +\dfrac{\sin(nx)}{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{\sin(x)}{x} + \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{\sin(2x)}{x} + \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin(3x)}{x} + \cdots + \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{\sin(nx)}{x}
Or, on sait que sin(X)0X\sin(X) \underset{0}{\sim} X, donc en posant X=ixX=ix (avec ii qui est un entier naturel qui va de 11 jusqu'à nn) on constate que si x0x \longrightarrow 0 alors on a bien X=ix0X=ix \longrightarrow 0. Ainsi, on a la relation sin(ix)0ix\sin(ix) \underset{0}{\sim} ix, et de fait, on peut donc écrire que :
limx0i=1nsin(ix)x=limx0xx+limx02xx+limx03xx++limx0nxx\lim_{x \longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\sin(ix)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{x}{x} + \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{2x}{x} + \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{3x}{x} + \cdots + \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{nx}{x}
Comme x0x \longrightarrow 0 cela signifie que x0x \neq 0. Donc, en simplifiant, on trouve que :
limx0i=1nsin(ix)x=limx01+limx02+limx03++limx0n=1+2+3++n\lim_{x \longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\sin(ix)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} 1 + \lim_{x \longrightarrow 0}2+ \lim_{x \longrightarrow 0} 3 + \cdots + \lim_{x \longrightarrow 0} n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
Notons par SS la somme suivante :
S=1+2+3++nS = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
Comme il s'agit d'une succession de nn additions, on peut l'effectuer dans l'ordre souhaité. On a alors :
\bullet \,\, Ordre croissant : S=1+2+3++nS = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
\bullet \,\, Ordre décroissant : S=n+(n1)+(n2)++1S = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1
En additionnant membre à membre, on trouve que :
2S=1+n+2+(n1)+3+(n2)++n+1=(1+n)+(1+n)+(1+n)++(1+n)=(1+n)×(1+1+1++1nfoislenombre1)=(1+n)×n2S = 1+n + 2 + (n-1) + 3 + (n-2) + \cdots + n + 1 = (1+n) + (1+n) + (1+n) + \cdots + (1+n) = (1+n) \times (\underbrace{1 + 1 + 1 + \cdots + 1}_{n \, \mathrm{fois \, le \, nombre} \, 1} ) = (1+n) \times n
Ainsi on obtient 2S=(1+n)×n2S = (1+n) \times n et donc S=n(1+n)2S = \dfrac{n(1+n)}{2}. Finalement, on en déduit que :
limx0i=1nsin(ix)x=n(1+n)2\lim_{x \longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\sin(ix)}{x} = \dfrac{n(1+n)}{2}