Objectif supérieur (3) - Exercice 1

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\ln\left( (a^x + b^x)^\frac{1}{x} \right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\frac{1}{x} \ln(a^x + b^x)}$$.
L'idée est d'utiliser la relation suivante :
$$\ln(1+X) \underset{0}{\sim} X$$
Cette idée nécessite de faire apparaître, par factorisation, le rapport $$\dfrac{a}{b}$$ ou $$\dfrac{b}{a}$$ qui est inférieur à $$1$$ et donc qui verra tendre sa $$x$$-ième puissance vers zéro lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$. Ainsi $$X = \left(\dfrac{a}{b}\right)^x$$ ou $$X = \left(\dfrac{b}{a}\right)^x$$. Ceci signifie que nous allons devoir distinguer les trois cas $$a>b$$, $$a<b$$ et $$a=b$$.
$$\bullet \,\,\,$$ Premier cas : on suppose que $$a>b$$
Dans ce cas, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\frac{1}{x} \ln(a^x + b^x)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\frac{1}{x} \ln\left(a^x \left( 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^x \right)\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\frac{1}{x} \left( \ln\left(a^x \right) + \ln\left( 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^x \right)\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{ \left( \frac{1}{x}\ln\left(a^x \right) + \frac{1}{x} \ln\left( 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^x \right)\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{ \left( \frac{x}{x}\ln(a) + \frac{1}{x} \ln\left( 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^x \right)\right)}$$.
Ce qui nous permet d'écrire maintenant que :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{ \left( \ln(a) + \frac{1}{x} \left(\frac{b}{a}\right)^x\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\ln(a)} \times e^{\frac{1}{x} \left(\frac{b}{a}\right)^x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} a \times e^{\frac{1}{x} \left(\frac{b}{a}\right)^x} = a \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\frac{1}{x} \left(\frac{b}{a}\right)^x} = a \times e^{\lim_{x \longrightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left(\frac{b}{a}\right)^x}$$
Mais lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$ on a $$\frac{1}{x} \longrightarrow 0$$ et $$\left(\frac{b}{a}\right)^x \longrightarrow 0$$. Donc $$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left(\frac{b}{a}\right)^x = 0$$. Et de fait, on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = a \times e^{0} = a \times 1$$.
Ainsi, si $$a>b$$ alors on obtient :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = a$$
$$\bullet \, \bullet \,\,\,$$ Premier cas : on suppose que $$a<b$$
Dans ce cas, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\frac{1}{x} \ln(a^x + b^x)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\frac{1}{x} \ln\left(b^x \left( 1 + \left(\frac{a}{b}\right)^x \right)\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\frac{1}{x} \left( \ln\left(b^x \right) + \ln\left( 1 + \left(\frac{a}{b}\right)^x \right)\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{ \left( \frac{1}{x}\ln\left(b^x \right) + \frac{1}{x} \ln\left( 1 + \left(\frac{a}{b}\right)^x \right)\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{ \left( \frac{x}{x}\ln(b) + \frac{1}{x} \ln\left( 1 + \left(\frac{a}{b}\right)^x \right)\right)}$$.
Ce qui nous permet d'écrire maintenant que :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{ \left( \ln(b) + \frac{1}{x} \left(\frac{a}{b}\right)^x\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\ln(b)} \times e^{\frac{1}{x} \left(\frac{a}{b}\right)^x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} b \times e^{\frac{1}{x} \left(\frac{a}{b}\right)^x} = b \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\frac{1}{x} \left(\frac{a}{b}\right)^x} = b \times e^{\lim_{x \longrightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left(\frac{a}{b}\right)^x}$$
Mais lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$ on a $$\frac{1}{x} \longrightarrow 0$$ et $$\left(\frac{a}{b}\right)^x \longrightarrow 0$$. Donc $$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left(\frac{a}{b}\right)^x = 0$$. Et de fait, on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = b \times e^{0} = a \times 1$$.
Ainsi, si $$a>b$$ alors on obtient :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = b$$
$$\bullet \, \bullet \, \bullet \,\,\,$$ Premier cas : on suppose que $$a=b$$
Dans ce cas, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} (2a^x)^\frac{1}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} 2^\frac{1}{x}(a^x)^\frac{1}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} 2^\frac{1}{x}a^\frac{x}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} 2^\frac{1}{x}a^1 = \lim_{x \longrightarrow +\infty} 2^\frac{1}{x} a = a \lim_{x \longrightarrow +\infty} 2^\frac{1}{x} = a \times 2^{\lim_{x \longrightarrow +\infty} \frac{1}{x}}$$.
Or, on sait que $$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0$$. Ce qui nous permet d'écrire maintenant que :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = a \times 2^0 = a \times 1$$
Ainsi, si $$a=b$$ alors on obtient :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = a = b$$
$$\looparrowright \,\,$$ CONCLUSION
Les trois résultats, issus de l'étude des trois cas possibles, peuvent être synthétisés sous la forme suivante :
$$\boxed{\lim_{x \longrightarrow +\infty} (a^x + b^x)^\frac{1}{x} = \max{(a\,;\,b)}}$$