Limites usuelles en LN et EXP - Exercice 1

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x) - 0}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x) - \ln(1)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x) - \ln(1 + 0)}{x}$$
Or, la l'expression $$f(x) = \ln(1+x)$$ est dérivable à l'origine. Ce qui nous permet d'affirmer l'existence de $$f'(0)$$. On a alors :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x) - \ln(1 + 0)}{x} = f'(0)$$
Avec :
$$f'(x) = \left(\ln(1+x) \right)' = \dfrac{1}{1+x} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, f'(0) = \dfrac{1}{1+0} = \dfrac{1}{1} = 1$$
Ce qui nous donne donc :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$$

Le résultat précédent, est par définition, la traduction de l'équivalence suivante :
$$\ln(1+x) \underset{0}{\sim} x$$

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - e^0}{x}$$
Cependant, la fonction exponentielle est dérivable sur $$\mathbb{R}$$, ce qui implique que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - e^0}{x} = \left( e^x \right)'_{x=0}$$
Puis, on sait que $$\left( e^x \right)' = e^x$$ ce qui implique que $$\left( e^x \right)'_{x=0} = e^0 = 1$$. Ainsi, on trouve le résultat suivant :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - 1}{x} = 1$$

Le résultat précédent, est par définition, la traduction de l'équivalence suivante :
$$e^x - 1 \underset{0}{\sim} x$$
En additionnant $$1$$ des deux côtés de cette relation, on trouve que :
$$e^x - 1 + 1 \underset{0}{\sim} x + 1$$
Finalement, on obtient :
$$e^x \underset{0}{\sim} 1 + x$$