Limites : en route vers le supérieur

Limites et expression conjuguée - Exercice 1

40 min
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Soit aa et bb deux nombres réels. L'expression conjuguée de a−ba-b est :
a−b=(a−b)×1=a−b×a+ba+b=(a−b)×(a+b)a+b=a2−b2a+ba-b = (a-b)\times 1 = a-b \times \dfrac{a+b}{a+b} = \dfrac{(a-b)\times(a+b)}{a+b}=\dfrac{a^2-b^2}{a+b}.
Cette séquence calculatoire est parfois très pratique pour déterminer des limites qui se présentent sous forme de formes indéterminées.
Cette technique de l'expression conjuguée est particulièrement adaptée lors de la présence de racinée carrée.
Question 1

Déterminer la limite suivante : lim⁡x⟶2x+2−2x−2\lim_{x \longrightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}

Correction
On a :
lim⁡x⟶2x+2−2x−2=lim⁡x⟶2x+2−2x−2×x+2+2x+2+2=lim⁡x⟶2(x+2−2)×(x+2+2)(x−2)(x+2+2)=lim⁡x⟶2x+22−22(x−2)(x+2+2)=lim⁡x⟶2x+2−4(x−2)(x+2+2)\lim_{x \longrightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} = \lim_{x \longrightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} \times \dfrac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} = \lim_{x \longrightarrow 2} \dfrac{(\sqrt{x+2}-2)\times (\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \lim_{x \longrightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+2}^2-2^2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \lim_{x \longrightarrow 2} \dfrac{x+2-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}
Soit encore :
lim⁡x⟶2x+2−2x−2=lim⁡x⟶2x−2(x−2)(x+2+2)=lim⁡x⟶21x+2+2=12+2+2\lim_{x \longrightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} = \lim_{x \longrightarrow 2} \dfrac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \lim_{x \longrightarrow 2} \dfrac{1}{\sqrt{x+2}+2} = \dfrac{1}{\sqrt{2+2}+2}
Finalement, on obtient :
lim⁡x⟶2x+2−2x−2=14\lim_{x \longrightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} = \dfrac{1}{4}
Question 2

Déterminer la limite suivante : lim⁡x⟶3x−3x−3\lim_{x \longrightarrow 3} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}

Correction
On a :
lim⁡x⟶3x−3x−3=lim⁡x⟶3x−3x−3×x+3x+3=lim⁡x⟶3(x−3)×(x+3)(x−3)(x+3)=lim⁡x⟶3x2−32(x−3)(x+3)=lim⁡x⟶3x−3(x−3)(x+3)\lim_{x \longrightarrow 3} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} = \lim_{x \longrightarrow 3} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} \times \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} = \lim_{x \longrightarrow 3} \dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{3})\times (\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})} = \lim_{x \longrightarrow 3} \dfrac{\sqrt{x}^2-\sqrt{3}^2}{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})} = \lim_{x \longrightarrow 3} \dfrac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}
Soit encore, en simplifiant par le terme x−3x-3, on trouve que :
lim⁡x⟶3x−3x−3=lim⁡x⟶31x+3=13+3\lim_{x \longrightarrow 3} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} = \lim_{x \longrightarrow 3} \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}
Finalement, on obtient :
lim⁡x⟶3x−3x−3=123\lim_{x \longrightarrow 3} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}
Question 3

Déterminer la limite suivante : lim⁡x⟶+∞x2+x−x\lim_{x \longrightarrow + \infty} \sqrt{x^2+x}-x

Correction
On a :
lim⁡x⟶+∞x2+x−x=lim⁡x⟶+∞(x2+x−x)×x2+x+xx2+x+x=lim⁡x⟶+∞(x2+x−x)×(x2+x+x)x2+x+x=lim⁡x⟶+∞x2+x2−x2x2+x+x=lim⁡x⟶+∞x2+x−x2x2+x+x\lim_{x \longrightarrow + \infty} \sqrt{x^2+x}-x = \lim_{x \longrightarrow + \infty} (\sqrt{x^2+x}-x) \times \dfrac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{(\sqrt{x^2+x}-x) \times (\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{x^2+x}^2-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{x^2+x-x^2} {\sqrt{x^2+x}+x}
Soit :
lim⁡x⟶+∞x2+x−x=lim⁡x⟶+∞xx2+x+x=lim⁡x⟶+∞x∣x∣1+xx2+x=lim⁡x⟶+∞x∣x∣1+1x+x\lim_{x \longrightarrow + \infty} \sqrt{x^2+x}-x = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{x}{|x|\sqrt{1+\dfrac{x}{x^2}}+x} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{x}{|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+x}
Comme x⟶+∞x \longrightarrow + \infty, cela signifie que x>0x>0 et de fait ∣x∣=x|x| = x. Ainsi, on obtient :
lim⁡x⟶+∞x2+x−x=lim⁡x⟶+∞xx1+1x+x=lim⁡x⟶+∞11+1x+1\lim_{x \longrightarrow + \infty} \sqrt{x^2+x}-x = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{x}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+x} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1}
Or x⟶+∞x \longrightarrow + \infty ce qui implique que 1x⟶0\dfrac{1}{x} \longrightarrow 0, ce qui nous permet d'écrire que :
lim⁡x⟶+∞x2+x−x=lim⁡x⟶+∞11+0+1=11+1\lim_{x \longrightarrow + \infty} \sqrt{x^2+x}-x = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \dfrac{1}{1+1}
Finalement, on obtient :
lim⁡x⟶+∞x2+x−x=12\lim_{x \longrightarrow + \infty} \sqrt{x^2+x}-x = \dfrac{1}{2}
Question 4

Déterminer la limite suivante : lim⁡x⟶01+x−(1+x2)x2\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{x}{2} \right)}{x^2}

Correction
On a :
lim⁡x⟶01+x−(1+x2)x2=lim⁡x⟶01+x−(1+x2)x2×1+x+(1+x2)1+x+(1+x2)=lim⁡x⟶0(1+x−(1+x2))×(1+x+(1+x2))x2(1+x+(1+x2))\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{x}{2} \right)}{x^2} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{x}{2} \right)}{x^2}\times \dfrac{\sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2} \right)}{\sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2} \right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left( \sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{x}{2} \right) \right) \times \left( \sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2} \right) \right)}{x^2\left(\sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2} \right)\right)}
Ce qui nous donne :
lim⁡x⟶01+x−(1+x2)x2=lim⁡x⟶01+x2−(1+x2)2x2(1+x+(1+x2))=lim⁡x⟶01+x−(1+x+x24)x2(1+x+(1+x2))=lim⁡x⟶01+x−1−x−x24x2(1+x+(1+x2))\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{x}{2} \right)}{x^2} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x}^2-\left(1+\dfrac{x}{2} \right)^2}{x^2\left(\sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2} \right)\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1+x -\left(1+x+\dfrac{x^2}{4} \right)}{x^2\left(\sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2} \right)\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1+x -1-x-\dfrac{x^2}{4}}{x^2\left(\sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2} \right)\right)}
En simplifiant, on trouve que :
lim⁡x⟶01+x−(1+x2)x2=lim⁡x⟶0−x24x2(1+x+(1+x2))=lim⁡x⟶0−141+x+(1+x2)=lim⁡x⟶0−14(1+x+(1+x2))=−14(1+0+(1+02))=−14(1+1)\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{x}{2} \right)}{x^2} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{-\dfrac{x^2}{4}}{x^2\left(\sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2} \right)\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{-\dfrac{1}{4}}{\sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2} \right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{-1}{4\left(\sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2} \right)\right)} = \dfrac{-1}{4\left(\sqrt{1+0}+\left(1+\dfrac{0}{2} \right)\right)} = \dfrac{-1}{4\left(\sqrt{1}+1\right)}
Finalement, on obtient le résultat suivant :
lim⁡x⟶01+x−(1+x2)x2=−18\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{x}{2} \right)}{x^2} = - \dfrac{1}{8}
Question 5

En déduire que : 1+x∼01+12x−18x2\sqrt{1+x} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2.

Correction
D'après ce qui précède, on a :
lim⁡x⟶01+x−(1+x2)−18x2=1\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{x}{2} \right)}{- \dfrac{1}{8}x^2} = 1
Ce qui signifie que :
1+x−(1+12x)∼0−18x2\sqrt{1+x} - \left(1 + \dfrac{1}{2}x\right) \underset{0}{\sim} - \dfrac{1}{8}x^2
En additionnant des deux côtés le terme 1+12x1 + \dfrac{1}{2}x on obtient la relation cherchée :
1+x∼01+12x−18x2\sqrt{1+x} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2
Question 6

Quelle conclusion pouvez-vous faire ?

Correction
On pose :
f(x)=1+x    ⟹    f′(x)=121+x    ⟹    f′′(x)=−14(1+x)32f(x) = \sqrt{1+x} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, f''(x) = -\dfrac{1}{4(1+x)^{\frac{3}{2}}}
Ce qui nous permet d'écrire que :
f(0)=1    ⟹    f′(x)=12    ⟹    f′′(x)=−14f(0) = 1 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, f'(x) = \dfrac{1}{2} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, f''(x) = -\dfrac{1}{4}
Ainsi, on obtient :
f(0)+x f′(0)+x22f′′(0)=1+x 12+x22×(−14)=1+12x−18x2f(0) + x \, f'(0) + \dfrac{x^2}{2}f''(0) = 1 + x \, \dfrac{1}{2} + \dfrac{x^2}{2} \times \left( -\dfrac{1}{4} \right) = 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2
Question 7

Quelle conclusion pouvez-vous faire ?

Correction
Si une fonction ff est au moins deux fois dérivables sur un intervalle II contenant 00 alors on a la relation suivante :
f(x)∼0f(0)+x f′(0)+x22f′′(0)f(x) \underset{0}{\sim} f(0) + x \, f'(0) + \dfrac{x^2}{2}f''(0)