Limite trigonométrique - Exercice 1

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} \times \dfrac{\cos(x) + 1}{\cos(x) + 1} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left(\cos(x) - 1\right) \times \left(\cos(x) + 1\right)}{x^2\left(\cos(x) + 1\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos^2(x) - 1^2}{x^2\left(\cos(x) + 1\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1 - \sin^2(x) - 1}{x^2\left(\cos(x) + 1\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{- \sin^2(x)}{x^2\left(\cos(x) + 1\right)}$$
Ce qui nous donne encore :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin^2(x)}{x^2} \times \dfrac{1}{\cos(x) + 1} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \left(\dfrac{\sin(x)}{x} \right)^2 \times \dfrac{1}{\cos(x) + 1} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \left(\dfrac{x}{x} \right)^2 \times \dfrac{1}{\cos(x) + 1} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \left(1\right)^2 \times \dfrac{1}{\cos(x) + 1} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1}{\cos(x) + 1}$$
Soit encore :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} = - \dfrac{1}{\cos(0) + 1} = - \dfrac{1}{1 + 1}$$
Finalement on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} = - \dfrac{1}{2}$$

De ce qui précède, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{- \dfrac{1}{2}x^2} = 1$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\cos(x) - 1\underset{0}{\sim} - \dfrac{1}{2}x^2$$
En additionnant $$1$$ des deux côtés de la relation précédente, on obtient :
$$\cos(x) - 1 + 1\underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}x^2$$
Finalement, on trouve que :
$$\cos(x) \underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}x^2$$