Limite trigonométrique - Exercice 1

30 min
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Question 1

Déterminer la limite suivante : lim⁡x⟶0cos⁡(x)−1x2\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2}

Correction
On a :
lim⁡x⟶0cos⁡(x)−1x2=lim⁡x⟶0cos⁡(x)−1x2×cos⁡(x)+1cos⁡(x)+1=lim⁡x⟶0(cos⁡(x)−1)×(cos⁡(x)+1)x2(cos⁡(x)+1)=lim⁡x⟶0cos⁡2(x)−12x2(cos⁡(x)+1)=lim⁡x⟶01−sin⁡2(x)−1x2(cos⁡(x)+1)=lim⁡x⟶0−sin⁡2(x)x2(cos⁡(x)+1)\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} \times \dfrac{\cos(x) + 1}{\cos(x) + 1} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left(\cos(x) - 1\right) \times \left(\cos(x) + 1\right)}{x^2\left(\cos(x) + 1\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos^2(x) - 1^2}{x^2\left(\cos(x) + 1\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1 - \sin^2(x) - 1}{x^2\left(\cos(x) + 1\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{- \sin^2(x)}{x^2\left(\cos(x) + 1\right)}
Ce qui nous donne encore :
lim⁡x⟶0cos⁡(x)−1x2=−lim⁡x⟶0sin⁡2(x)x2×1cos⁡(x)+1=−lim⁡x⟶0(sin⁡(x)x)2×1cos⁡(x)+1=−lim⁡x⟶0(xx)2×1cos⁡(x)+1=−lim⁡x⟶0(1)2×1cos⁡(x)+1=−lim⁡x⟶01cos⁡(x)+1\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin^2(x)}{x^2} \times \dfrac{1}{\cos(x) + 1} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \left(\dfrac{\sin(x)}{x} \right)^2 \times \dfrac{1}{\cos(x) + 1} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \left(\dfrac{x}{x} \right)^2 \times \dfrac{1}{\cos(x) + 1} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \left(1\right)^2 \times \dfrac{1}{\cos(x) + 1} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1}{\cos(x) + 1}
Soit encore :
lim⁡x⟶0cos⁡(x)−1x2=−1cos⁡(0)+1=−11+1\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} = - \dfrac{1}{\cos(0) + 1} = - \dfrac{1}{1 + 1}
Finalement on trouve que :
lim⁡x⟶0cos⁡(x)−1x2=−12\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} = - \dfrac{1}{2}
Question 2

En déduire que : cos⁡(x)∼01−12x2\cos(x) \underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}x^2

Correction
De ce qui précède, on en déduit que :
lim⁡x⟶0cos⁡(x)−1−12x2=1\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{- \dfrac{1}{2}x^2} = 1
Ce qui nous permet d'écrire que :
cos⁡(x)−1∼0−12x2\cos(x) - 1\underset{0}{\sim} - \dfrac{1}{2}x^2
En additionnant 11 des deux côtés de la relation précédente, on obtient :
cos⁡(x)−1+1∼01−12x2\cos(x) - 1 + 1\underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}x^2
Finalement, on trouve que :
cos⁡(x)∼01−12x2\cos(x) \underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}x^2

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